Here be a line, if not the image is missing
 

Integraali

Aloitussivu

Määrättyä integraalia

∫ b f (x )dx a

on ajateltava eräänlaisena summan raja-arvona: Lähtökohtana on ns. Riemannin summa

∑n f(vk)Δxk, k=1

missä luvut x0, x1, …, xn ovat välin [a,b] jakopisteitä ja funktion arvo lasketaan jokaisen osavälin jossakin pisteessä vk. Jos jakopisteiden määrää lisätään, summan termien määrä kasvaa ja samalla jokainen termi lähestyy nollaa osavälien pituuden Δxk mukana. Jos summalla tällöin on raja-arvo — kuten esimerkiksi jatkuvan funktion f tapauksessa on — sanotaan funktiota f integroituvaksi ja raja-arvoa integraaliksi.

Riemannin summa voidaan tulkita käyrän y = f(x) alle jäävän pinta-alan approksimaatioksi, mutta monissa yhteyksissä, varsinkin sovelluksissa, Riemannin summaan ja tätä kautta integraaliin päädytään muunlaisella ajattelulla. Integraali ei siten lainkaan välttämättä kuvaa pinta-alaa, tilavuutta tms. geometrista käsitettä.

M Määrätyn integraalin määrittely
M Määrätyn integraalin laskusäännöt

 

Edellisestä täysin erillinen — periaatteessa — näkökulma integraaliin on integraalifunktion käsite. Kyseessä on derivoinnin käänteisoperaatio.

Ehkä jollakin tavoin yllättävää on, että kahdella näkökulmalla on yhteys: määrätty integraali voidaan laskea integraalifunktion avulla.

M Integraalifunktion käsite
M Määrätyn integraalin ja integraalifunktion yhteys

 

Määrätyn integraalin laskeminen perustuu siten usein derivoinnin kääntämiseen. Derivoimiskaavoista ja derivointimenettelyistä saadaankin suoraan useita integroimiskaavoja. Integrointi ei kuitenkaan ole samalla tavoin mekaanista kuin derivointi: yksinkertaisillekaan funktioille ei välttämättä löydetä alkeisfunktioiden avulla lausuttavaa integraalifunktiota. Tällöin voidaan turvautua numeeriseen integrointiin, erilaisiin erikoisfunktioihin tms.

M Suoria integrointikaavoja I
M Suoria integrointikaavoja II
M Sijoitusmenettely
M Osittaisintegrointi

Esimerkkejä

  1. ∫ √ -- x + sin(2x )dx

    Koska integroitava lauseke on summa, voidaan se jakaa kahteen erikseen tarkasteltavaan osaan.

    ∫ ∫ ∫ √x--+ sin(2x)dx = √xdx + sin(2x)dx

    Neliöjuuuri kannattaa muuttaa murtopotenssimuotoon, jolloin sen integroimiseen voidaan käyttää potenssin integroimissääntöä.

    ∫ ∫ √xdx = x12dx = 2x 32 + C 3 1

    Sinin voimme integroida suoraan ja saadaksemme sisäfunktion 2x tarkastellaan derivaattaa D [− cos(2x )] = 2 sin(2x ) , joka on lähes sama kuin integroitava funktio. Jos kerromme kummatkin puolet puolikkaalla, lausekkeet ovat samat.

    ∫ 1 sin(2x )dx = − --cos(2x) + C2 2

    Nyt voimme yhdistää saadut integraalit. Merkitsemme C1 + C2 = C , koska integroimisvakio on mielivaltainen.

    ∫ ∫ ∫ √ -- √ -- x + sin(2x)dx = xdx + sin(2x)dx = 2x 32 − 1cos(2x ) + C. 3 2


  2. ∫ x2(x3 + 1)2dx

    Integroitava lauseke voidaan kertoa auki, mutta siinä syntyy helposti virheitä, kun potenssit kasvavat riittävästi.
    Lausekkeessa on nähtävissä sisäfunktion derivoinnin jäljet.

    n ' n− 1 Df (x) = n ⋅ f (x)f(x)

    Kaavassa f (x) = x3 + 1 , f '(x) = 3x2 ja n = 3 . Derivoidaan mahdollinen integraalifunktio ja havaitaan derivoinnin tuloksen ja integroitavan lausekkeen poikkeavan vain vakiokertoimen verran.

    3 3 2 3 2 2 3 2 D (x + 1 ) = 3 ⋅ 3x (x + 1) = 9x (x + 1) 1- 3 3 2 3 2 9 D (x + 1 ) = x (x + 1)

    Integraali on siis.

    ∫ 1 x2(x3 + 1)2dx = --⋅ (x3 + 1)3 + C 9


  3. Riemannin summa käyrän allan olevasta alasta ja määrätyn integraalin yhteydestä.

    M     Esimerkki II Riemannin summasta

  4. Ilmamäärän määrittäminen Riemannin summalla.

    M Esimerkki I Riemannin summasta

  5. Määrätty integraali ∫ π 0 sinxdx ja käyrien y = sin x ja y = cosx välille [0, π] 2 rajaaman alueen pinta-ala.

    M Esimerkkejä määrätyn integraalin laskemisesta

  6. Lasketaan käyrien f(x) = 1x3 + 2 3 , g(x) = 10 − x 3 , x = − 1 ja x-akselin rajaaman alueen pinta-ala.

    Tarkastellaan ensin missä käyrät leikkaavat ja miltä rajattu alue näyttää.
    kuvaaja1
    f(x) = 0 , kun 3√ --- x = − 6 , ja g(x) = 0 , kun 10- x = 3 . Kuvaajien f(x) :n ja g(x) :n leikkausta tarvitsee tarkastella vain välillä √--- [ 3− 6, 103 ] .
    1- 3 4- g(x) = f(x ) ⇔ 3 x + x − 3 = 0

    Yhtälö toteutuu, kun x = 1 . Jaetaan tarkasteltava pinta-ala kahteen osaan: x ∈ [− 1,1] ja 10- x ∈ [1, 3 ] .

    ∫ 1 ∫ 103 Ala = f (x)dx + g(x)dx −1 1

    Lasketaan kumpikin määrätty integraali erikseen.

    ∫ 1 ∫ 1 ∕ 1 f(x)dx = 1x3 + 2dx = ( 1-x4 + 2x) −1 −1 3 12 −1 1-- 4 -1- 4 = 12 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 − (12 ⋅ (− 1) + 2 ⋅ (− 1)) = 4

    ∫ 10 ∫ 10 ∕130 3 g(x )dx = 3 10-− xdx = 10-x − 1x2 1 1 3 3 2 1 = 10-⋅ 10-− 1-(10)2 − (10-⋅ 1 − 1-⋅ 12) = 49 3 3 2 3 3 2 18

    Kysytty pinta-ala on siis

    ∫ ∫ 10- 1 3 49- 121- f(x)dx + g(x)dx = 4 + 18 = 18 . −1 1



  7. Määritetään tilavuus, joka syntyy käyrän 2 y = x − 1 pisteiden (1,0) ja (2,3) välisen kaaren pyörähtäessa x-akselin ympäri.
    kuvaaja2
    kuvaaja3
    Pyörähdyskappaleen tilavuus saadaan kaavalla V = π ∫ bf(x)2dx a .

    ∫ 2 V = π (x2 − 1)2dx 1 ∫ 2 4 2 = π x − 2x + 1dx 1 ∕ 2x5 2 = π ---− -x3 + x 1 5 3 25 2 15 2 = π(---− -⋅ 23 + 2 − (--− -⋅ 13 + 1)) 5 3 5 3 = π38- 15


  8. Sovelletaan osamurtomenetelmää rationaalifunktion integroinnissa.
    ∫ 1 -2--------dx x − x − 2

    1 1 -2---------= -------------- x − x − 2 (x + 1)(x − 2) --A--- -B---- = x + 1 + x − 2 A (x − 2) + B (x + 1 ) = --------------------- (x + 1 )(x − 2) Ax--+-Bx--−-2A-+--B = (x + 1)(x − 2)

    Muodostetaan osoittajista yhtälöpari.

    { B − 2A = 1 A + B = 0 ⇔ A = − B

    B − 2(− B ) = 3B = 1 ⇔ B = 13
    Nyt integraali voidaan jakaa osiin.

    ∫ 1 1 ∫ − 1 1 -2--------dx = -- ------+ -----dx x − x − 2 3 ∫ x + 1 x −∫2 1- -−-1-- --1--- = 3( x + 1 dx + x − 2dx) 1 = -(− ln(x + 1) + C1 + ln(x − 2) + C2) 3 = 1-ln (x − 2) − 1ln(x + 1) + C 3 3 1- x-−-2- = 3 ln x + 1 + C


  9. ∫ dx 2x2+1- ja puoliympyrän alan integroiminen.

    M Esimerkkejä sijoitusmenetelmästä

  10. ∫ ∫ e x2exdx ja 1 ln xdx

    M Esimerkkejä osittaisintegroinnista

  11. Lasketaan funktion f (x) = x−2 kuvaajan ja x-akselin jäävä pinta-ala, kun 1 < x . Pinta-alan integraaliksi saadaan epäoleellinen integraali, koska ei ole määritelty f(∞ ) .
    ∫ ∞ (∫ a ) −2 − 2 1 x dx = ali→m∞ 1 x dx ( ∕ a ) ( ) −1 1- = ali→m∞ − x = ali→m∞ − a + 1 = 1 1

    Käyrän alle jäävän alueen pinta-ala on 1.

    kuvaaja

  

Harjoitustehtäviä

  1. Integroi:

    1.   ∫ 2 (x + 2x + 3) dx

    2.   ∫ ( ) 1 + 4x27 + 13x6 dx

    3.   ∫ esinx-dx 7

    4.   ∫ 3 -5 dx x

  2. Integroi:

    1.   ∫ (3x + e1−x) dx

    2.    ( ) ∫ 6√ -- 1 x + -6- dx x

    3.    ( ) ∫ 3cos x + 4- dx x

    4.   ∫ √3-- (7x x ) dx

    5.   ∫ x x 4 (e (e ) ) dx

    6.    ( ) ∫ π- sin(3 − 2x) dx

  3. Integroi vielä:

    1.   ∫ 7 7(3x + 1) dx

    2.   ∫ 2 3 x(3 − x ) dx

    3.   ∫ 1 --(ln x)2 dx x

    4.    5 ∫ (2x-−-11-)-dx 3

    5.   ∫ --dx--- 2x − 1

    6.   ∫ ( −x2) xe dx

    7.   ∫ x (e sin(x))dx

  4. Määritä funktiolle f integraalifunktio, joka kulkee pisteen a kautta.

    1.   f(x ) = 2x − 1, a = (2,7)

    2.    π- f(x ) = sin(3x ), a = ( 3,1)

  5. Määrättyjä integraaleja.

    1.   ∫ π( 3 ) 2 sin(4x) + -- dx 0 π

    2.    ( ) ∫ 1 ∫ 1(2x + t)2dt dx 0 0

    3.   ∫ 2( 3 ) 1 --+ x3 dx x

    4.   ∫ 3√ ------- 0 9 − 3x dx

  6. Laske seuraavien käyrien ja suorien rajaama pinta-ala:

    1.   y = − x2 − 1, x = − 1-, x = 1 2 ja x-akseli

    2.    1- y = x, x = 1, x = e ja y = 0

    3.    1 y = 3 − --x2, x = − 1, x = 2 2 ja x-akseli

    4.   x = y2 − 1 ja x = 0

    5.    1 y = 2x, y = 2x ja xy = 1

  7. Määritä tilavuus, kun

    1.   käyrä 4 f(x) = x pyörähtää x-akselin ympäri ja 0 ≤ x ≤ 2 .

    2.   käyrä y = 5 − x2 pyörähtää suoran y = 1 ympäri ja − 2 ≤ x ≤ 2 .

  8. Määritä tilavuus, kun käyrien √ -- y = x ja √4-- y = x∕ 6 rajaama alue pyörähtää x-akselin ympäri.

  9. Laske:

    { ∫ ∞ x4, jos x = 0 tai x4 ≤ 1∕x4, f (x)dx, kun f (x) = 4 4 4 −∞ 1∕x , jos 1∕x ≤ x .

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä
  6. tehtävä
  7. tehtävä
  8. tehtävä
  9. tehtävä