Pikku-M: Itseisarvoyhtälöt

Here be a line, if not the image is missing

Itseisarvoyhtälöt

Itseisarvolausekkeisiin ja itseisarvoyhtälöihin tai itseisarvoepäyhtälöihin johdutaan usein määritettäessä lukujen etäisyyksiä ja tason tai avaruuden pisteiden välisiä etäisyyksiä. Usein on myös tarpeen johtaa yläraja-arvioita itseisarvolausekkeille esimerkiksi numeerisen laskennan virhetermejä arvioitaessa.

Itseisarvolausekkeien muokkaaminen ja tarvittaessa niitä sisältävien yhtälöiden tai epäyhtälöiden ratkaiseminen onkin matematiikassa usein käytetty työkalu.

Itseisarvoyhtälön ratkaiseminen

Esimerkkejä

Ratkaistaan itseisarvoyhtälö:

$|3x + 2| = 4.$

$|3x + 2| = 4 ⇐ ⇒ 3x + 2 = 4 tai 3x + 2 = − 4$

$3x + 2 = 4 3x + 2 = − 4 3x = 2 3x = − 6 2 − 6 x = -- x = --- = − 2 3 3$

Yhtälö pätee, kun
$x = 2-tai x = − 2. 3$
Ratkaistaan

$|6x − 2| = x2 + 5.$

Yhtälössä $x2 + 5 > 0$ , jolloin voimme todeta, että $6x − 2 = ± (x2 + 5)$ :

$6x − 2 = x2 + 5 6x − 2 = − (x2 + 5) 2 2 x − 6x + 7 = 0 x + 6x + 3 = 0 √-- √ -- x = 3 ± 2 x = − 3 ± 6$

Itseisarvoyhtälö pätee, kun
$√ -- √ -- x = − 3 ± 6 tai x = 3 ± 2.$
Ratkaistaan $|12x + 5| = |9x|.$

$12x + 5 = 9x 12x + 5 = − 9x 3x = − 5 21x = − 5 − 5 − 5 x = --- x = --- 3 21$

Yhtälön ratkaisut ovat
$5 5 x = − --tai x = − ---. 3 21$

Harjoitustehtäviä

Ratkaise:
1. $|k| = 3$
2. $|a| = − a$
3. $|x − 1| = 1$
4. $|2 + y| = 6$
5. $3 = − |3x + 1|$
6. $|2x + 1| = 7$
Ratkaise:
1. $|4x2 − 1| − 1 = 0$
2. $| | ||1x + 3||= 1- |3 7| 2$
3. $|x + 11| + 6 = 0$
4. $3|x + 1| = 21$
5. $|3 − |x || = 1$
6. $||x | − 4| = 7$
Ratkaise:
1. $|3x + 1| + x = 7$
2. $|x + 2| = 4x − 7$
3. $|x − a| = |a − x |$
4. $|x − 3| = |x |$
5. $|2x| = |x + 3 |$
6. $2x = |x + 3|$
Ratkaise:
1. $|2x| = x + 3$
2. $|23x − 1| = |7x + 5|$
3. $| − |a|| = |2x + 1 |$
4. $|2 + |x − 1|| = 3$
5. $|x − 1| + |x + 4| − (x − 1 ) = 2$
6. $|x| + |2x − 1| = 2$
Ratkaise:
1. $| | ||--x---||= 1 |x − 1 |$
2. $| | | x + 1 | ||-------|| = 0 7x − 3$
3. $| 2 | ||3x--−-2x-−-1-|| | x − 1 | = 2$
4. $|x + 1| 1 -------- = -- |2x + 3| 2$
5. $| | ||-x +-1-|| |2x − 1 | = |x|$
6. $|| || |x-+-1| = |x − x-+-3| 3 | 5 |$
Ratkaise:
1. $|2x2 + 3x − 6| = 1$
2. $2 x − 6 = |5x|$

Tehtävien vastaukset: