Pikku-M: Rationaalifunktiot

Here be a line, if not the image is missing

Rationaalifunktiot

Lauseketta, jossa polynomi jaetaan polynomilla, kutsutaan rationaalifunktioksi. Tämä on määritelty kaikkialla muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa. Rationaalifunktioita sievennetään erilaisiin muotoihin sen mukaan, mitä lausekkeella on tarkoitus tehdä tai millaisia ominaisuuksia halutaan tutkia. Osoittajapolynomin jakaminen nimittäjäpolynomilla, ts. osamäärän ja jakojäännöksen muodostaminen on yksi tapa sieventää lauseketta.

Rationaalifunktion kuvaajalla on asymptootteja. Nämä ovat yleensä suoria, joita kuvaaja rajatta lähestyy, kun xy-tasossa siirrytään jossakin suunnassa äärettömyyteen. Asymptoottina voi myös olla toisen tai korkeamman asteen polynomin kuvaaja (paraabeli, kuutioparaabeli jne.).

Rationaalifunktion lauseke
Asymptootit

Esimerkkejä

Ratkaistaan nollakohdat.

$-x2-+-5- f(x) = 3x2 + x .$

$3x2 + x = x(3x + 1) = 0, kun x = 0 tai x = − 1 ∕3$
Yhtälö on määritelty koko $ℝ$ :ssä paitsi pisteissä $x = 0$ ja $x = − 1∕3$ . Rationaalifunktion nollakohdat määrittelyjoukossa ovat samoja kuin osoittajan $x2 + 5$ nollakohdat, joita ei reaalilukujen joukossa ole. Rationaaliyhtälöllä ei siis ole ratkaisuja. Rationaaliyhtälöllä on pystysuorat asymptootit kohdissa $1 x = − 3$ , $x = 0$ sekä $1 y = 3$ .
Ratkaistaan rationaalifunktion nollakohdat.

$3x2 − 3x − 6 p(x ) = --2---------. x + x − 6$

Rationaalilauseke on määritelty kaikkialla paitsi pisteissä $x = − 3$ ja $x = 2$ . (Tarkista!) Osoittajan nollakohdat ovat $x = − 1$ ja $x = 2$ , eli lausekkeen nollakohtia on vain yksi: $x = − 1$ .
Tämä varmistuu, kun jakaa polynomit tekijöihinsä nollakohtiensa avulla:

$3x2-−-3x-−-6- 3(x2 −-x −-2)- p(x ) = x2 + x − 6 = x2 + x − 6 = 3(x +-1)(x-−--2)= 3(x-+-1). (x + 3)(x − 2) (x + 3 )$
Etsitään rationaalifunktion asymptootit.

$2x2-+-5x-+-2- h (x ) = x + 1 .$

Koska osoittajan merkki on korkeampi kuin nimittäjän, voidaan suorittaa polynomien jakolasku.

$--2x-+-3----- x + 1|2x2 + 5x + 2 2 -2x--+-2x- 3x + 2 -3x-+-2 − 1$

$h(x) = 2x + 3 + -−-1-- x + 1 x + 1 = 0 kun x = − 1 lim 2x + 3 + -−-1--= ± ∞ x→ ±∞ x + 1$

$h(x)$ :n asymptootteja ovat suorat $2x + 3$ sekä $x = − 1$ .

Harjoitustehtäviä

Ratkaise yhtälöt:
1. $x 7 5-= −-15-$
2. $1 21 -2= --21- x − 33$
3. $−-0,31 -x-- − 0,06 = 0,03$
Ratkaise rationaaliyhtälöt:
1. $x − m x − n -------= ------ n m$
2. $a-−-x-− a-= 0 x − b b$
3. $ax + c bx + c -------= ------ b a$
4. $4x-+--19− ---7---= -----x------ 3 − 3x2 3 − 3x 1 − 2x + x2$
5. $x2 + 2 -------= 2x x + 1$
6. $(x + 1)(x − 1) -------------- = 3 2x − 1$
7. $--2x--= -x −-4- x + 1 2x + 1$
Etsi ratioonalifunktioiden nollakohdat:
1. $1 x --− ------ x x + 4$
2. $2 -x--−-4- x2 − 2x$
3. $a 1 ------− ------ x − 1 x + 1$
4. $2 x--+-x-−-6- 3 − x$
Määritä rationaalifunktioiden asymptootit:
1. $x2 + 13x + 7 ------------- x + 7$
2. $3x3-+-6x2-+-x- 4 + (x + 1)2$
3. $3x + 1 ---2---- 3x + x$
4. $1-+ --3x--- x x2 − 1$

Tähtävien vastaukset: