Here be a line, if not the image is missing
 

Vektorit

Aloitussivu

Nimityksellä vektori voidaan tarkoittaa monia erilaisia asioita. Yksinkertaisimmillaan vektori on tason tai avaruuden olio, jolla on suuruus ja suunta. Tällaisia vektoreita voidaan havainnollistaa nuolilla.

Vektorien käyttökelpoisuus geometrian ja fysiikan työkaluna perustuu siihen, että vektoreilla voidaan laskea, ts. ne muodostavat algebran. Laskeminen tapahtuu joko suoraan vektorisymboleilla tai esittämällä vektorit koordinaatistossa.

M Vektorikäsite
M Vektorien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen
M Vektorit koordinaatistossa

 

Tehokkaimmat vektorialgebran työkalut ovat skalaaritulo sekä tasossa että avaruudessa ja vektoritulo avaruudessa. Näiden avulla voidaan mm. johtaa melko yksinkertaisesti monia analyyttisen geometrian ja pallonpintageometrian kaavoja.

M Skalaaritulo
M Vektorin komponentti
M Vektoritulo
M Vektoritulon laskeminen

Esimerkkejä

  1. Lasketaan yhteen vektorit x = 7i − 3j ja x = 2i + 3j .

    x + y = (7i − 3j) + (2i + 3j) = (7 + 2)i + (− 3 + 3)j = 9i

    kuvaaja1

  2. Jaetaan vektori v = 3i + 8j vektoreiden a = 2i + 3j ja b = i − 2j suuntaisiin komponentteihin.

    3i + 8j = x (2i + 3j) + y(i − 2j) = 2xi + 3xj + yi − 2yj = (2x + y )i + (3x − 2y)j { { ⇒ 2x + y = 3 ⇒ x = 2 3x − 2y = 8 y = − 1 3i + 8j = 2(2i + 3j) − (i − 2j) v = 2a − b

    kuvaaja2

  3. Lasketaan vektoreiden a = 3i − 4j + k ja b = − 2i + j välinen kulma käyttäen pistetulon kaavaa a ⋅ b = |a ||b|cos θ.

    ∘ -2--------2---2- √ --- |a| = ∘ 3--+-(−-4)-+-1--= √26 |b | = (− 2)2 + 12 + 02 = 5 a ⋅ b = 3 ⋅ (− 2) + (− 4) ⋅ (1) + 1 ⋅ 0 = − 10

    cos θ = -a ⋅ b-= √−-10√---= √−-10- |a||b | 26 5 130

    θ ≈ 151,2895∘


  4. Vektoria ai + bj merkitään usein myös pisteellä (a,b) , kun voidaan olettaa kantavektoiden i ja j olevan tunnettuja. Esimerkiksi skalaarikoordinaatiston vektoria OP--= 2i − j voidaan lyhemmin merkitä (2,− 1) ja vektoreiden 6i + 11j ja ---- OP summa saadaan seuraavasti:

    (6,11) + (2,− 1 ) = (6 + 2,11 − 1) = (8,10 )

  5. Ristitulo vektoreista x = 3i + 2j + k ja y = i − j + k on vektori, joka on kohtisuorassa kumpaakin tulon tekijävektoria vastaan. (Sen suunta määräytyy ns. oikean käden säännön nojalla.)

    x × y = (3 ⋅ 1)i × i + (3 ⋅ (− 1))i × j + (3 ⋅ 1)i × k + (2 ⋅ 1)j × i + (2 ⋅ (− 1))j × j + (2 ⋅ 1)j × k + (1 ⋅ 1)k × i + (1 ⋅ (− 1))k × j + (1 ⋅ 1)k × k = (2 + 1)i − (3 − 1 )j + (− 3 − 2)k = 3i − 2j − 5k
 

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Puolisuunnikkaan ABCD sivu CD on kaksi kertaa niin pitkä kuin sen kanssa yhdensuuntainen sivu AB . Ilmaise vektorien AB--= a ja ---- AD = b avulla

    1.   sivuvektori ---- BC

    2.   lävistäjävektori ---- AC .

  2. Millä vakion t arvoilla vektoreille a = i + 3tj ja 2 b = ti + 4j pätee, että

    1.   a ja b yhdensuuntaisia

    2.   a :n ja b :n erotus ja summa ovat kohtisuorassa toisiaan vasten.

  3. Laske

    1.   (2i + 3j) + (5i − j)

    2.   (i + 3j) − 2(2i − 7j)

    3.   (2i − 7j + 6k ) + (− 5i + 14j − 8k )

    4.   (3i − 4k) − (− i − j − 5k)

  4. Jaa vektori v komponentteihin a ja b , kun

    1.   v = 5i + 6j, a = 3i + 2j ja b = i + 2j

    2.   v = i + 3j, a = 5i + j ja b = − 2i + j

    3.   v = − i + 2j, a = 2i + 2j ja b = 5i + 2j

    4.   v = − 5i + 7j, a = 2i + j ja b = − i + j

    5.   v = − 2i − 6j, a = − i + j ja b = i + j

  5. Laske, kun v = 2i + j + k,u = 5i − j + 3k ja w = j − 2k .

    1.   v ⋅ v

    2.   u ⋅ w

    3.   |u|

    4.   v × u

    5.   u × v

    6.   (u × v ) ⋅ w

    7.   u × w

    8.   |u × w |

  6. Mistä xy-tason pisteestä pisteisiin A = (− 1,1)  , B = (1,− 2)  , C = (2, 1)  , D = (2,3) ja E = (− 2,− 2) piirrettyjen vektoreiden summa on nollavektori?

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä
  6. tehtävä