Vektoriavaruuden kanta

Jos vektoriavaruuden (V, +, ^. ) joukon V äärellinen osajoukko {X ₁,...,X_n} generoi vektoriavaruuden (V, +, ^. ), toisin sanoen jos

niin sanotaan, että (V, +, ^. ) on äärellisesti generoitu.

Määritelmä. Vektoriavaruuden (V, +, ^. ) (V {}) joukon V osajoukkoa B = {X ₁,...,X_n} sanotaan vektoriavaruuden kannaksi, jos

     (i)   B generoi vektoriavaruuden (V, +, ^. ),
     (ii)   B on lineaarisesti riippumaton.

Nolla-avaruuden {} kannaksi sovitaan tyhjä joukko.

Lause. Joukko B = {X₁,...,X_n} on vektoriavaruuden (V, +, ^. ) kanta jos ja vain jos jokainen vektori X V voidaan esittää yksikäsitteisesti vektorien X₁,...,X_n lineaarikombinaationa eli muodossa

Tätä esitystä sanotaan vektorin kantaesitykseksi. Alkioita a₁,...,a_n sanotaan vektorin X koordinaateiksi kannan B suhteen.

Todistus. Olkoon B vektoriavaruuden (V, +, ^. ) kanta. Koska kanta generoi vektorijoukon V, voidaan jokainen joukon V vektori X lausua muodossa

Todistetaan vielä esityksen yksikäsitteisyys. Jos vektorilla X olisi toinen kantaesitys

niin vähentämällä toinen yhtälö ensimmäisestä saadaan

Koska kannan vektorit X₁,...,X_n ovat lineaarisesti riippumattomia niin viimeiselle yhtälölle on olemassa vain triviaali ratkaisu a_i - b_i = 0 kaikilla i = 1,...,n. Siis a_i = b_i kaikilla i = 1,...,n. Täten kantaesitys on yksikäsitteinen.

Oletetaan kääntäen, että kaikilla vektorijoukon V vektoreilla on yksikäsitteinen esitys vektorien X₁ , ... , X_n lineaarikombinaationa. Tämän perusteella V = L(X₁,...,X_n). Toiseksi pitää todistaa vielä, että vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Tarkastellaan lineaarista relaatiota

Tämä on nollavektorin esitys vektorien lineaarikombinaationa. Toisaalta myös 0 ^.   X ₁ + + 0 ^. X _n = , joten esityksen yksikäsitteisyyden perusteella on c_i = 0 kaikilla i = 1, ... , n. Joukko {X₁,...,X_n} on siis lineaarisesti riippumaton.

Linkit:
Vektoriavaruus
Aliavaruuden muodostaminen