Vektoriavaruuden kannasta

Lause. Jokaisella äärellisesti generoidulla vektoriavaruudella (V, +, ^. ) on kanta. Tarkemmin, jos V = L(X₁,...,X_n) niin joukon A = {X₁,...,X_n} jokin osajoukko on vektoriavaruuden kanta.

Todistus. Jos A on lineaarisesti riippumaton, niin se itse on kanta. Jos A on lineaarisesti riippuva, niin sivun Lineaarinen riippuvuus lauseen mukaan jokin joukon A vektoreista X_i voidaan esittää muiden joukon vektorien lineaarikombinaationa. Voidaan olettaa, että

Koska V = L(X₁,...,X_n), niin sijoittamalla tähän vektorin X₁ paikalle edellä saatu lauseke huomataan, että V = L(X₂,...,X_n).

Jos nyt A\{X₁} on lineaarisesti riippumaton, on se etsitty kanta. Muussa tapauksessa voidaan toistaa edellä esitetty päättely joukkoon A\{X₁} ja löytää näin pienempi osajoukko, joka generoi vektoriavaruuden (V, +, ^. ). Poistamalla joukosta A nollavektorit ja toteuttamalla edellä esitettyä päättelyä kunnes lopulta löydetään lineaarisesti riippumaton joukon A osajoukko saadaan vektoriavaruuden (V, +, ^. ) kanta. Jos kaikki vektorit ovat nollavektoreita, niin V = {} ja sen kanta on tyhjä joukko, joka on joukon A osajoukko. Muussa tapauksessa prosessi päättyy viimeistään silloin, kun jäljellä on enää yksi vektori X_i (silloin V = L(X_i) ja {X_i} on haettu kanta).

Linkit:
Vektoriavaruuden kanta
Lineaarinen riippuvuus