Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
LINEAARIALGEBRA
 

Cramerin sääntö

Jos yhtälöryhmän

{  a11x1  +   a12x2  +  ...  +   a1nxn  =   b1
   a21x1  +   a22x2  +  ...  +   a2nxn  =   b2
     ...          ...                  ...        ...

   an1x1  +   an2x2  +  ...  +   annxn  =   bn

kertoimista muodostuva determinantti

         ||a    a    ...  a   ||
         ||  11    12        1n ||
det A =  |a21  a22  ...  a2n |/=  0,
         ||  ...   ...         ...  ||
         ||a    a    ...  a   ||
           n1   n2        nn

niin yhtälöryhmällä on tarkalleen yksi ratkaisu, nimittäin

     |                       |
     | a    ...  b  ...  a   |
     ||  11        1       1n ||
     || a21  ...  b2 ...  a2n ||
     |  ...        ...        ...  |
     || a    ...  b  ...  a   ||
xi = |--n1-------n--------nn--|,
     || a11  ... a1i  ... a1n  ||
     | a21  ... a2i  ... a2n  |
     ||  .        .         .  ||
     ||  ..        ..         ..  ||
     | an1  ... ani  ... ann  |

kun 1 < i < n. Ratkaisun osoittajassa on siis matriisin A determinantin i:s sarake korvattu yhtälöryhmän vakiotermisarakkeella.

Sama asia voidaan esittää lyhyemmin käyttämällä apuna matriisin pystyriviesitystä. Olkoon A = (A(1) , ... , A(n)) ja X = (x 1,x2,...,xn)T ja B = (b 1,b2,...,bn)T . Jos

x1A(1) + x2A(2) + ...+ xnA(n) =  B

ja

detA /=  0,

niin yhtälöryhmällä on tarkalleen yksi ratkaisu, nimittäin

          (1)      (i- 1)      (i+1)      (n)
x =  det(A---,...,A----,B,-A-----,...,A---),
 i                   det A

kun i = 1, ... ,n.


Linkit:
Determinantti
Lineaariset yhtälöt ja yhtälöryhmät
Cramerin säännön todistus