Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RYHMÄ
 

Lagrangen lause

Lause. [Lagrangen lause] Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja (H,*) < (G,*). Silloin

          #G
[G  : H] = #H-.

Erityisesti siis äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun.

Todistus. Olkoot h1 ja h2 joukon H kaksi alkiota. Jos jollekin a  (- G on a * h1 = a * h2, niin ryhmän yhtälön supistussäännön nojalla h1 = h2. Täten jokaisessa sivuluokassa a * H on yhtä monta alkiota kuin joukossa H.

Olkoon D jokin vasempien sivuluokkien edustajisto, siis #D = [G : H]. Koska vasemmat sivuluokat muodostavat joukon G partition saadaan

       sum               sum 
#G  =     #(a * H) =     #H  = [G : H](#H),
      a (- D           a (- D

mistä seuraa lauseen väite. []

Lagrangen lausetta voidaan käyttää tutkittaessa, mitkä ryhmän (G,*) joukon G osajoukoista voivat muodostaa aliryhmiä. Lauseen perusteella voidaan esimerkiksi sanoa, ettei joukon G aito osajoukko, jossa on enemmän kuin #G/2 alkiota voi muodostaa aliryhmää. Lagrangen lauseen seurauksena saadaan myös seuraavat lauseet.

Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä. Kaikilla a  (- G, ord(a) | #G.

Todistus. Koska ord(a) = # < a > ja (< a >,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä, niin väite seuraa Lagrangen lauseesta. []

Jos a  (- G ja (G,*) on äärellinen ryhmä, niin edellisen lauseen perusteella #G = ord(a) . k, jollekin kokonaisluvulle k. Täten

a#G = aord(a).k = (aord(a))k = ek = e,

missä e on ryhmän G neutraalialkio. Tuloksena on saatu seuraava lause.

Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja #G = n. Silloin an = e kaikilla a  (- G.

Lause. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen.

Todistus. Olkoon (G,*) ryhmä ja #G = p, missä p on alkuluku. Valitaan a  (- G, a/=e. Silloin Lagrangen lauseen ensimmäisen seurauslauseen mukaan ord(a) | p. Koska p on alkuluku ja toisaalta ord(a) > 1, on ord(a) = p. Täten a generoi koko ryhmän (G,*). []

Lopuksi varoitus Lagrangen lausetta koskien. Sen käänteinen tulos ei yleisesti pidä paikkaansa. Toisin sanoen yleisesti, jos ryhmän kertaluku on n niin kaikille luvun n tekijöille m ei ole olemassa aliryhmää, jonka kertaluku olisi m.


Linkit:
Ryhmän perusominaisuuksia
Vasemmat sivuluokat
Sykliset ryhmät
Lagrangen lauseen sovellus lukuteoriaan