Renkaan yksikköryhmä

Yhden alkion joukko R = {a} muodostaa triviaalisti renkaan, kun määritellään a + a = a ja a ^. a = a. Koska a on silloin ryhmän (R, +) neutraalialkio eli nolla-alkio, sanotaan tätä rengasta nollarenkaaksi.

Oletetaan jatkossa, ettei R ole nollarengas.

Määritelmä. Renkaan (R, +, ^. ) alkiota u sanotaan renkaan yksiköksi (unit), jos alkiolla u on käänteisalkio renkaassa R, toisin sanoen, jos on olemassa sellainen u^-1 R, että u ^. u^-1 = u^-1 . u = 1 _R.

Renkaan kaikkien yksiköiden joukosta käytetään merkintää R^*.

Lause. Olkoon (R, +, ^. ) rengas. Silloin (R^*, ^. ) on ryhmä. Tätä ryhmää sanotaan renkaan yksikköryhmäksi.

Todistus. Joukko R^* on epätyhjä, sillä 1 _R R^*. Alkio 1 _R on ryhmän (R^*, ^. ) neutraalialkio. Jos u,v R^*, niin u ^. v R^*, sillä alkion u ^. v käänteisalkio on v^-1u^-1.

Operaatio  ^.  on assosiatiivinen joukossa R, joten se on assosiatiivinen myös osajoukossa R^*. Jos u R^*, niin u^-1 R, koska alkion u^-1 käänteisalkio (u^-1)^-1 = u .

Täten (R^*, ^. ) toteuttaa ryhmän postulaatit ja on siis ryhmä.

Lause. Olkoon (R, +, ^. ) rengas (R ei ole nollarengas). Silloin renkaan ykkösalkio 1 _R ja nolla-alkio 0_R ovat aina eri alkiot.

Todistus. Jos olisi 1_R = 0_R, niin kaikilla renkaan R nollasta eroavilla alkioilla a olisi

mikä on ristiriita.

Linkit:
Ryhmä
Rengas