Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
RENGAS
 

Ihanteen generointi ja pääihannerengas

Ryhmäteoriassa todettiin, että joukon G osajoukko generoi ryhmän (G,*) aliryhmän. Ihanteille saadaan vastaava tulos. Olkoon (R, +, . ) rengas ja S  (_ R. Silloin S generoi renkaan R ihanteen < S >, missä

                  /~\ 
< S  >=                      I.
                 S (_ I
         I on renkaan (R,+,.) ihanne

Sivun Ihanne viimeisen lauseen mukaan < S > on ihanne. Tämä ihanne on renkaan (R, +, . ) suppein sellainen ihanne, joka sisältää joukon S.

Jos S on äärellinen joukko S = {a1,a2,...,an}, niin ihanteen < S > sanotaan olevan äärellisesti generoitu(va). Tällöin voidaan merkitä < S >=< a1,...,an > .

Yhden alkion a generoimaa ihannetta < a > sanotaan pääihanteeksi.

Huomaa, että

<  a1,...,an >= < b1,...,bm >,

jos kumpikin ihanne sisältää toisen generaattorit. Nimittäin, jos a1,...,an  (- < b1,...,bm >, niin edellä todetun nojalla < a1,...,an > (_ < b1,...,bm > . Vastaava tulos saadaan toisin päin.

Triviaalit ihanteet R ja {0R} ovat pääihanteita, koska R =< 1R > ja {0R} =< 0R > .

Määritelmä. Rengasta, jonka kaikki ihanteet ovat pääihanteita, sanotaan pääihannerenkaaksi (principal ideal ring).

Lause. Jos (R, +, . ) on kommutatiivinen rengas ja {a 1,...,ak} (_ R on epätyhjä joukko, niin

<  a1,...,ak >=  {r1a1 + ...+ rkak |ri  (-  R, i = 1,...,k}.

Todistus. Merkitään U = {r1a1 + ... + rkak | ri  (- R, i = 1,...,k}. Selvästi U on epätyhjä joukko. Olkoot r1a1 + ... + rkak  (- U ja s1a1 + ... + skak  (- U. Renkaan R distributiivilaeista seuraa, että

r1a1+...+ rkak - (s1a1 + ...+ skak) = (r1 - s1)a1 + ...+ (rk-  sk)ak  (-  U,

sillä ri - si  (- R kaikilla luvun i arvoilla.

Olkoon r  (- R. Renkaan R distributiivi- ja assosiatiivilaeista seuraa, että

r(r1a1 + ...+ rkak) = (rr1)a1 + ...+ (rrk)ak  (-  U,

sillä rri  (- R kaikilla arvoilla i. Ihannekriteerin nojalla U on ihanne.

Kaikilla luvun i arvoilla 0Ra1 + ... + 0Rai-1 + 1Rai + 0Rai+1 + ... + 0rak  (- U, missä 0R on renkaan R nolla-alkio ja 1R on ykkösalkio. Täten {a1,...,ak} (- U. Koska U on ihanne, < a1 , ... , ak > (_ U.

Toisaalta jokainen joukko I, joka sisältyy leikkaukseen

                          /~\ 
< a1,...,ak >=                      I
                     {a ,...,a } (_ I
                I on renk1aan (Rk,+,.) ihanne

sisältää kaikki joukon U alkiot. Täten U  (_ < a1,...,ak > ja siis < a1,...,ak >= U. []


Linkit:
Ryhmän generointi
Ihanne