smr240.html

Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003

RENGAS

Esimerkkejä jäännösluokkarenkaista

Esimerkki. Renkaan (, +,^.) ihanteita ovat joukot m kaikilla kokonaisluvuilla m, joilla m > 1. Renkaan jäännösluokkarengas ihanteen m suhteen on

---- ------ Z/mZ = {a + mZ |a (- Z}= {0,1,...,m - 1},

missä operaatiot kaikilla a,b ovat

-- - ----- -- - --- a + b = a + b, a .b = ab.

Kyseessä on siis tuttu rengas (_m, +,^.) eli jäännösluokkarengas modulo m.

Jos m = 1 saadaan nollarengas / = {0}. Yleisestikin pitää paikkansa R/R = {0_R}.

Esimerkki. Palautetaan mieleen joukko

V~ --- V~ --- Z[ 10] = {a + b 10 |a,b (- Z}.

Renkaan (, +,^.) alirenkaana ([ V~ 10- ], +,^.) on kommutatiivinen rengas (katso Esimerkkejä alirenkaista).

Koska ([ V~
10 ], +,^.) on kommutatiivinen rengas, joukon {5, V~ ---
10 } generoima ihanne on sivun Ihanteen generointi ja pääihannerengas lauseen mukaan

V~ -- V~ --- V ~ --- <5,10 > = {r1 .5 + r2-. 10 |r1,r2 (- Z[--10]}--- = {(a + b V~ 10) .5 + (a + b V~ 10) V~ 10 | a ,a ,b ,b (- Z} 1 1 2 V~ 2-- 1 2 1 2 = {(5a1 + V~ 10b2) + (a2 + 5b1) 10 |a1,a2,b1,b2 (- Z} = {5a + b 10 |a,b (- Z}.

Ihanteen I =< 5, V~ ---
10 > muodostaman jäännösluokkarenkaan

V~ --- Z[ 10]/I

mielivaltainen alkio on

V~ --- (a + b 10) + I = a + I, a,b (- Z

sillä b V~
10 I.

Jokainen kokonaisluku a voidaan kirjoittaa jakoalgoritmin mukaan muodossa a = 5q + r, missä q, r ja 0 < r < 4. Täten

a + I = 5q + r + I = r + I,

sillä 5q I.

Siis [ V~
10 ]/ < 5, V~ ---
10 >= {r + I | r = 0, 1, 2, 3, 4}. Helposti nähdään, että joukon alkiot ovat eri alkioita. Esimerkiksi vastaoletuksesta 0 + I = 1 + I seuraa, että 0 = 1 + i, jollekin i I. Pitäisi siis olla i = -1, mutta tämä on ristiriita, sillä -1 / I.

Linkit:
Jäännösluokkarengas
Esimerkkejä ihanteista
Esimerkkejä alirenkaista
Ihanteen generointi ja pääihannerengas
Jakoalgoritmi