Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
KUNTA
 

Esimerkkejä alikunnista

Esimerkki. Olkoon n (n/=0, 1) neliövapaa kokonaisluku (toisin sanoen luvulla n ei ole tekijänä mitään kokonaisluvun neliötä m2, missä m > 1). Osoitetaan, että joukko

   V~ --          V~ --
Q(  n) = {a + b  n | a,b  (-  Q}

muodostaa kunnan (C, +, . ) alikunnan. Jos n > 0, on tämä alikunta myös kunnan (R, +, . ) alikunta.

Koska Q  (_ Q( V~ -
 n), toteutuu alikuntakriteerin ehto AK1.

Oletetaan, että a + b V~ n-, a' + b' V~ n-  (- Q( V~ n-). Silloin

       V~ -     '    ' V~  --        '        '  V~ --     V~ --
(a + b n) - (a +  b  n) = a - a  + (b- b )  n  (-  Q( n),

koska a - a' (- Q ja b - b' (- Q. Täten ehto AK2 toteutuu.

Oletetaan lisäksi, että a' + b' V~ --
  n/=0. Nyt

 V~         V~ --        V~ --
a+bn   (a-+-b--n)(a'---b'-n)-   ------1------    '    '       '     ' V~ --
a'+b' V~ n=     (a')2 - (b' V~ n)2     =  (a')2 - (b')2n ((aa - bb n) + (a b - ab ) n).

Saatu tulos kuuluu kuntaan Q( V~ n-), mikäli (a')2 - (b')2n/=0. Pitää siis osoittaa, että a'- b' V~ 
n/=0. Jos a'- b' V~ --
  n = 0, niin a' = b' V~ --
  n. Jos b' = 0, niin myös a' = 0, mistä seuraisi, että a' + b' V~ --
  n = 0, mikä on ristiriita. Täten b'/=0 (samoin myös a'/=0). Nyt n = '2
(a)'2
(b). Koska n  (- Z (n/=0, 1), niin myös (a''
b)2  (- Z ja siis a''
b  (- Z. Tästä seuraa, että n on neliö, mikä on ristiriita. Siis a'- b' V~ --
  n/=0 ja näin ollen ehto AK3 toteutuu.

Esimerkki. Olkoon (K, +, . ) kunta ja char(K) = 2. Näytetään, että joukko {0 K, 1K} muodostaa kunnan K alikunnan. Koska joukossa {0K, 1K} on kaksi alkiota ehto AK1 toteutuu.

Koska char (K) = 2, on 1K + 1K = 0K ja tästä seuraa, että -1K = 0K - 1K = 1K. Vastaavasti voidaan laskea muut erotukset ja nähdään, että ehto AK2 toteutuu. Ehto AK3 toteutuu, koska a--
1K = a molemmilla a  (- {0K, 1K}. Väite seuraa alikuntakriteeristä.

Esimerkki. Olkoon (K, +, . ) kunta ja kuvaus f : (K, +, . ) --> (K, +, . ) homomorfismi kunnalta itselleen. Merkitään

F  = {a  (-  K |f (a) = a}.

Näytetään, että (F, +, . ) on kunnan (K, +, . ) alikunta. Kuntaa (F, +, . ) sanotaan homomorfismin f kiintokunnaksi.

Koska kuntahomomorfismi (katso sivu Renkaiden homomorfia) kuvaa aina f(1K) = 1K ja f(0K ) = 0K , niin {0K, 1K} (_ F. Täten alikuntakriteerin ehto AK1 toteutuu. Oletetaan, että a, b  (- F. Silloin joukon F ja homomorfian määritelmän perusteella (katso sivu Renkaiden homomorfia)

f(a - b) = f(a + (- b)) = f (a) + f (-b) = f (a)- f (b) = a - b.

Täten a - b  (- F. Jos lisäksi b/=0K, niin

f (a) = f (ab -1) = f(a) .f (b-1) = f(a) .f(b)-1 = ab-1 = a-,
   b                                                     b

ja siis a
b  (- F. Ehdot AK2 ja AK3 toteutuvat. Väite seuraa alikuntakriteeristä.


Linkit:
Alikunta
Renkaiden homomorfia