Maksimaalinen ihanne

Kommutatiivisista renkaista voidaan muodostaa kuntia maksimaalisen ihanteen avulla.

Määritelmä. Olkoon (R, +, ^. ) rengas. Renkaan R ihannetta M sanotaan maksimaaliseksi, jos se on aito (toisin sanoen MR) ja ei ole olemassa renkaan R ihannetta I, joka toteuttaisi M I R.

Määritelmän jälkimmäinen ehto on usein mukava ajatella muodossa: Jos I on renkaan (R, +, ^. ) ihanne ja M I, niin I = R.

Lause. Olkoon (R, +, ^. ) kommutatiivinen rengas ja I sen ihanne. Jäännösluokkarengas (R/I, +, ^. ) on kunta jos ja vain jos I on renkaan (R, +, ^. ) maksimaalinen ihanne.

Todistus. Oletetaan ensin, että (R/I, +, ^. ) on kunta. Koska kunnassa on vähintään kaksi alkiota, niin IR. Oletetaan, että on olemassa renkaan (R, +, ^. ) ihanne J, jolle pätee I J. Näytetään, että tästä seuraa J = R.

Koska I on ihanteen J aito osajoukko, on olemassa alkio a J \I. Silloin a + II, joten a + I ei ole kunnan (R/I, +, ^. ) nolla-alkio. Täten alkiolla a + I on käänteisalkio b + I jollakin b R, siis

Tästä saadaan, että 1_R = ab + i, jollain alkiolla i I. Koska a J ja i J, niin ab + i J ehdon I2 nojalla. Kuten sivulla Ihanne todettiin siitä, että 1_R J seuraa, että J = R.

Todistetaan väite toiseen suuntaan eli oletetaan, että I on renkaan R maksimaalinen ihanne. Koska rengas R on kommutatiivinen, niin samoin on jäännösluokkarengas (R/I, +, ^. ). Vielä pitää osoittaa, että kaikilla jäännösluokkarenkaan (R/I, +, ^. ) nolla-alkiosta I eroavilla alkioilla on käänteisalkio joukossa R/I.

Olkoon a + I R/I erisuuri kuin I. Silloin a / I. Koska I on maksimaalinen ihanne, niin joukon {I,a} generoima ihanne on oltava R. Koska (R/I, +, ^. ) on kommutatiivinen, saadaan sivun Ihanteen generointi ja pääihannerengas lauseen mukaan, että

Koska kaikki joukon R alkiot voidaan esittää muodossa i + ra, niin erityisesti ykkösalkio 1_R = i' + r'a, joillakin i' I ja r' R. Tämä on ekvivalenttia sen kanssa, että

Täten r' + I on alkion a + I käänteialkio ja (R/I, +, ^. ) on siis kunta.

Linkit:
Rengas
Kunta
Ihanne
Jäännösluokkarengas
Ihanteen generointi ja pääihannerengas