Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
POLYNOMIRENKAAT
 

Polynomin aste

Olkoon (R, +, . ) rengas ja (R[x], +, . ) polynomirengas yli renkaan R.

Määritelmä. Jos polynomissa f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + a nxn on a n/=0, kerrointa an sanotaan polynomin f(x) johtavaksi kertoimeksi ja lukua n sanotaan polynomin f(x) asteeksi (degree). Polynomin asteesta käytetään merkintää deg f(x).

Polynomia f(x) sanotaan pääpolynomiksi (monic polynomial), jos sen johtava kerroin on renkaan R ykkösalkio.

Yllä on määritelty polynomin johtava kerroin ja aste kaikille nollapolynomista 0R eroaville polynomeille f(x)  (- R[x]. Nollapolynomin asteeksi sovitaan deg(0R) = - oo . Tässä - oo ajatellaan lukuna, joka on pienempi kuin kaikki reaaliluvut.

Lause. Olkoon (R, +, . ) kokonaisalue. Silloin (R[x], +, . ) on kokonaisalue ja kaikilla f(x),g(x)  (- R[x] on

deg(f (x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).

Lisäksi

deg(f(x) + g(x)) < max{deg  f (x), degg(x)}.

Todistus. Sivun Polynomirengas lauseen mukaan (R[x], +, . ) on kommutatiivinen. Olkoot f(x),g(x)  (- R[x] ja olkoon polynomin f(x) johtava kerroin an ja polynomin g(x) johtava kerroin bm. Koska (R, +, . ) on kokonaisalue, on a nbm/=0R. Täten tulopolynomissa f(x)g(x) esiintyvä korkeinta astetta oleva termi on anbmxn+m. Tulopolynomi on siis eri kuin nollapolynomi, joten (R[x], +, . ) on kokonaisalue ja lisäksi tulopolynomin aste toteuttaa väitteen yhtälön.

Jos ainakin toinen polynomeista f(x) ja g(x) on nollapolynomi, on myös tulopolynomi f(x)g(x) = 0R ja silloin yhtälö deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x) pitää paikkansa, sillä molemmat puolet ovat - oo .

Jätetään lauseen loppuosa harjoitukseksi. []


Linkit:
Polynomirengas
Esimerkkejä polynomirenkaista
Kokonaisalue