Eri tarkoituksia varten voidaan differentiaaliyhtälö muokata uuteen muotoon. Kyse voi olla teoreettisesta tarkastelusta, jossa on edullisempaa tarkastella muuta kuin alkuperäsitä muotoa, tai yhtälön ratkaisemisesta muuntamalla se muotoon, jonka käsittely hallitaan. Tärkeimmät muuntamismenettelyt ilmenevät seuraavista dokumenteista:
Sopivalla sijoituksella saatetaan yhtälö voida muuntaa separoituvaksi, vaikka se ei sellainen alunperin olisikaan; korkeamman kertaluvun yhtälö voidaan joissakin tapauksissa palauttaa ensimmäiseen kertalukuun. Seuraavat dokumentit esittävät tarvittavat ideat ja niiden lopussa on linkkejä konkreettisiin esimerkkeihin:
Korkeampien kertalukujen yhtälöiden havainnollistamista varten DiffEqWebissä on DEWn-osa (ohjeet). Tämä piirtää kahdenlaisia graafisia esityksiä: tuntemattoman funktion ja sen derivaattojen kuvaajat riippumattoman muuttujan (t) funktiona, jolloin kyseessä on ns. aikariippuvuus; toisena vaihtoehtona on faasitasoesitys. Jälkimmäinen on oikeastaan mielekäs vain ns. autonomisille yhtälöille tai yhtälöryhmille. Käsitteet on määritelty seuraavissa esityksissä:
Tutustu DEWn-osuuteen ja joihinkin sen valmiiksi määriteltyihin yhtälöihin. Yhtälö on aina annettava normaaliryhmän muodossa, komponentit puolipisteillä erotettuina. Huomaa, että kaikki esimerkit eivät ole autonomisia. Mitkä ovat ja mitkä eivät? Miten tämä näkyy faasitasokuviossa? Miksi?
Tiettyä differentiaaliyhtälöä tarkasteltaessa on aluksi yleensä syytä selvittää, minkä tyyppinen yhtälö on kyseessä:
Tärkein differentiaaliyhtälötyyppi on lineaarinen differentiaaliyhtälö:
Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen yhtälö on separoituva ja siis helposti ratkaistavissa. Epähomogeenisen yhtälön ratkaisumenettely on myös melko helppo, mutta vaikeampi kysymys on, miksi se on sellainen kuin on. Menettelyt ilmenevät seuraavista dokumenteista ja niihin liittyvistä esimerkeistä. Perusteita pohditaan vasta ensi viikolla.
Väestönkasvua mallinnetaan usein differentiaaliyhtälöillä. Mallit sisältävät verrannollisuskertoimia ja muita vastaavanlaisia parametreja, joille haetaan arvot toteutuneen kehityksen perusteella. Yksinkertainen esimerkki on seuraava:
Kokeile, mitä parametrien arvojen muuttaminen vaikuttaa väestökäyrän muotoon!
Esimerkkinä puhtaasti geometrisluonteisesta sovelluksesta on heijastavan peilin muodon määrittäminen:
Yhden planeetan liike kiinteän Auringon ympäri voidaan helposti mallintaa Newtonin lain avulla. Jos oletetaan, että kyseessä on tasoliike (mikä voidaan kyllä todistaakin Newtonin laista lähtien), saadaan toisen kertaluvun vektoridifferentiaaliyhtälö. Tätä vastaa neljän yhtälön ja neljän tuntemattoman funktion (kaksi paikkakoordinaattia, kaksi nopeuden komponenttia) ensimmäisen kertaluvun normaaliryhmä.
Planeetan rata voi olla ellipsi, paraabeli tai hyperbeli. Saatko nämä esiin seuraavan dokumentin arvoja muuttelemalla?
Kotitehtävät ovat seuraavat:
Eräisiin kotitehtäviin on tarjolla ohjeita ja vihjeitä.
Tutki seuraavia harjoitustehtäviä Mathematican avulla. Huomaa, että Mathematica ei selviydy kaikesta täysin kunnialla, joten käyttäjän täytyy itse olla kriittinen.
Tehtävässä 29 on löydettävä sopiva arvo vakiolle p. Syntyvän differentiaaliyhtälön sieventäminen Mathematican keinoilla voi olla hankalaa, vaikka se mahdollista onkin. Sievennä tarvittaessa käsin. Kokeile myös yhtälön ratkaisemista Mathematicalla suoraan, so. muuntamatta sitä lineaariyhtälöksi.
Tehtävän 30 Airyn funktiot ovat ns. erikoisfunktioita vastakohtana tavallisille alkeisfunktioille. Erikoisfunktiot määritellään usein differentiaaliyhtälön ratkaisuna, sarjakehitelmän avulla tai muulla vastaavalla tavalla. Tässä tapauksessa ne ovat Airyn differentiaaliyhtälön y'' - xy = 0 ratkaisuja. Funktioiden nimet Mathematicassa ovat AiryAi ja AiryBi.
Kirjoita tutkimuksistasi muistikirja- (Notebook-) muotoinen dokumentti ja varusta se henkilötiedoillasi. Talleta syntynyt muistikirja ja lähetä se liitetiedostona YY:lle. Viimeinen luovutuspäivä on maanantai 5.3.2001.
Valitse viikon harjoitustehtäväkokoelmasta 3 – 5 erityyppistä tehtävää ja ratkaise ne samaan tapaan kuin edelliselläkin viikolla. Kirjoita lyhyt selostus ratkaisuista ja niiden yhteydestä teoriaan. Luovuta selostuksesta paperikopio oman harjoitusryhmäsi assistentille. Viimeinen luovutuspäivä on keskiviikko 7.3.2001.