Integroiva tekijä

1) Differentiaaliyhtälön y + (x²y - x)y' = 0 kerroinfunktiot ovat P (x, y) = y ja Q(x, y) = x² y - x. Koska osittaisderivaatat

= 1  ja   = 2xy - 1

ovat eri suuret, yhtälö ei ole eksakti.

Jos yhtälö kerrotaan tekijällä 1/x², se saa muodon

+ y' = 0.

Tällöin

= = ,

ja yhtälö siis on eksakti. Kerroin 1/x² on yhtälön integroiva tekijä.

Yhtälö voidaan tällöin ratkaista eksaktiuteen perustuen. Tulos on

- + = C  eli  xy² - 2y = 2Cx.

2) Joissakin erikoistapauksissa voidaan sopiva integroiva tekijä etsiä laskemalla. Esimerkkinä olkoon yhtälö (2xy - y² - y) + (2xy - x² - x)y' = 0, jolle yritetään etsiä muotoa M(x + y) oleva integroiva tekijä. Tässä M on siis yhden muuttujan funktio, jonka argumenttina on summa x + y.

Kun yhtälö kerrotaan integroivalla tekijällä saadaan kerroinfunktioiksi

P (x, y) = M(x + y)(2xy - y² - y),   Q(x, y) = M(x + y)(2xy - x² - x).

Eksaktiusehto = antaa tällöin mikä sievenee muotoon

M' (x + y)(x + y + 1) = -4M(x + y)  eli  M'(t)(t + 1) = -4M(t);

tässä on merkitty t = x + y. Saatu yhtälö on separoituva, ja sen eräs ratkaisu on M(t) = 1/(t + 1)⁴, jolloin integroivaksi tekijäksi saadaan

M(x + y) = .

Tällöin yhtälöstä tulee eksakti ja se voidaan ratkaista. Tulos voidaan kirjoittaa muotoon

xy = C(x + y + 1)³.