Esimerkit : Lineaariset yhtälöt

Epähomogeeninen vakiokertoiminen lineaariyhtälö

Epähomogeenista vakiokertoimista differentiaaliyhtälöä

y(4) + 4y''' + 6y'' + 4y' + y = e-x + sin 5x

vastaava homogeeniyhtälö on

y(4) + 4y''' + 6y'' + 4y' + y = 0.

Kun tämä ratkaistaan yritteellä y = erx päädytään karakteristiseen yhtälöön r4 + 4r3 + 6r2 + 4r + 1 = 0, jolla on nelinkertainen juuri r = -1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on siten

y = C1e-x + C2xe-x + C3x2e-x + C4x3e-x.

Epähomogeeniyhtälön yksittäisratkaisua haettaessa voidaan termit e-x ja sin 5x käsitellä erikseen. Jos nimittäin y1 on differentiaaliyhtälön Ly = R1 ratkaisu ja y2 on differentiaaliyhtälön Ly = R2 ratkaisu, ts. Ly1 = R1 ja Ly2 = R2, niin on myös Ly1 + Ly2 = R1 + R2 eli L(y1 + y2) = R1 + R2. Tällöin y1 + y2 on yksittäisratkaisu sille yhtälölle, jonka oikeana puolena on summa R1 + R2.

Koska e-x , xe-x, x2e-x ja x3e-x ovat homogeeniyhtälön ratkaisuja, on yhtälön

y(4) + 4y''' + 6y'' + 4y' + y = e-x

yksittäisratkaisua etsittävä yritteellä y = Ax4e-x. Tämän sijoittaminen differentiaaliyhtälöön antaa (24A - 1)e-x = 0, jolloin tulee olla A = 1/24.

Yhtälön

y(4) + 4y''' + 6y'' + 4y' + y = sin 5x

yksittäisratkaisu voidaan löytää yritteellä y = A sin 5x + B cos 5x. Tämän sijoittaminen yhtälöön antaa (476a + 480b) sin 5x + (-480a + 476b) cos 5x = sin 5x, jolloin tulee olla

{
    476a + 480b =  1,

  - 480a + 476b =  0.

Tällöin a = 119/114244, b = 30/28561.

Kaikkiaan saadaan epähomogeenisen yhtälön yleiseksi ratkaisuksi

y = C1 e-x + C2xe-x + C3x2e-x + C4x3e-x + 124x4e-x + 111149244 sin 5x + 2830561 cos 5x.


Ratkaiseminen: vakiokertoiminen epähomogeeninen yhtälö
Teoria: lineaarisen differentiaaliyhtälön operaattorimuoto

SKK 15.5.2001