Sarjayrite ja rekursiokaavan johto

Olkoon tarkasteltavana toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö y'' + xy = 0 (Airyn yhtälö, missä muuttujan x merkki on vaihdettu, ts. x-akselin suunta on käännetty).

Tämän sarjaratkaisu kehityskeskuksena origo saadaan yritteen

y = a_kx^k

avulla. Sijoittaminen yhtälöön antaa

k(k - 1)a_kx^k-2 + a_kx^k+1 = 0

eli

2a₂ +6a₃ x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+42a₇x⁵+. . . +a₀x+a₁x²+a₂x³+a₃x⁴+a₄x⁵+. . . = 0.

Koska oikea puoli on = 0, tulee myös vasemmalla olla jokaisen x:n potenssin kertoimen = 0, mikä johtaa yhtälöryhmään

Yhtälöryhmän ratkaisussa voidaan ilmeisesti a₀ ja a₁ valita vapaasti ja välttämättä on a₂ = 0. Kertoimesta a₃ alkaen kukin kerroin lasketaan aina kolmanneksi edellisen kertoimen avulla, ts. kertoimet a₅, a₈, a₁₁ jne. ovat = 0, kertoimet a₃, a₆, a₉ jne. määräytyvät kertoimen a₀ avulla ja vastaavasti kerroin a₁ määrää kertoimet a₄, a₇, a₁₀ jne.

Kuvatunkaltaiselle kertoimien rekursiiviselle laskemiselle voidaan myös johtaa yleinen kaava. Kun yhtälön

k(k - 1)a_kx^k-2 + a_kx^k+1 = 0

edellisessä summassa indeksit numeroidaan uudelleen merkitsemällä j = k - 2 ja jälkimmäisessä summassa merkitsemällä j = k + 1, saadaan

(j + 2)(j + 1)a_j+2x^j + a_j-1x^j = 0

eli

2a₂ + [(j + 2)(j + 1)a_j+2 + a_j-1]x^j = 0.

Koska kaikkien potenssien x^j kertoimien pitää olla = 0, on siis oltava

a₂ = 0,     a_j+2 = -,  j = 1, 2, 3, . . . .

Ratkaisuun jää kaksi määräämätöntä vakiota, a₀ ja a₁. Nämä ovat toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön yleisessä ratkaisussa esiintyvät kaksi integroimisvakiota. Kun muut kertoimet rekursiota käyttäen lasketaan näiden avulla, saadaan

y =	a0
+	a1 .

=

ja tämän raja-arvo on = 0, kun j , sarjaratkaisu suppenee kaikilla muuttujan x arvoilla potenssisarjojen teorian yleisten lauseiden mukaisesti. Tämä ei kuitenkaan merkitse, että sarjoja voitaisiin käyttää ratkaisufunktioiden numeeristen arvojen laskemiseen: argumentista x riippuen sarjojen suppeneminen saattaa olla hidasta ja laskenta erittäin altista pyöristysvirheille.