Ratkaiseminen : Numeerisen ratkaisemisen menetelmät

Rungen – Kuttan menetelmä

Samaan tapaan kuin parannetun Eulerin menetelmän johtamisessa käytetään toisen asteen Taylorin polynomia, voidaan tarkastella neljännen asteen polynomia. Tarkasteluista tulee tällöin suhteellisen monimutkaisia, mutta tuloksena saadaan klassinen Rungen – Kuttan menetelmä, joka voidaan luonnehtia useampikertaiseksi ennustaja-korjaaja-menetelmäksi.

Yhden askelen laskemisessa tarvittavat kaavat ovat seuraavat:

k1 = hf(xk, yk),
k2 = hf(xk + h/2, yk + k1/2),
k3 = hf(xk + h/2, yk + k2/2),
k4 = hf(xk + h, yk + k3),
yk+1 = yk + 1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).
Ilman tarkempaa analyysia ei ole mahdollista nähdä, miksi kaavat ovat juuri sellaisia kuin ovat. Periaatteessa lopputulos on kuitenkin ymmärrettävissä: Kun luvuista k1 , k2, k3, k4 otetaan h tekijäksi, voidaan termi 1
6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) mieltää funktion f eräissä pisteissä laskettujen arvojen painotetuksi keskiarvoksi kerrottuna tarkasteluvälin pituudella h. Se voi siis hyvin olla järkevä approksimaatio integraalille

 integral  xk+1

 xkf(x, y(x)) dx.

Klassinen Rungen – Kuttan menetelmä on varsin hyvä ja melko laajasti käytetty menetelmä alkuarvoprobleemojen ratkaisemisessa. Vastaavantyyppisiä yhteisellä nimellä Rungen – Kuttan menetelmiksi kutsuttuja menetelmiä on useita erilaisia.


Teoria: numeerisen ratkaisemisen perusidea
Ratkaiseminen: parannettu Eulerin menetelmä
Esimerkki: alkuarvoprobleeman numeerinen ratkaiseminen
Esimerkki: Airyn yhtälön numeerinen ratkaiseminen

SKK 15.5.2001