Teoria : Lineaarinen differentiaaliyhtälö

Lineaarinen riippumattomuus

Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on käsite, joka tulee käyttöön mm. lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Tämä määritellään seuraavasti:

Määritelmä. Funktiot y1(x),  y2(x),  . . . ,  yn(x) ovat lineaarisesti riippumattomia, jos yhtälö

n
 sum 

k=1ckyk(x) = 0  eli  c1y1(x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x) = 0

on voimassa kaikilla (tarkasteluväliin kuuluvilla) muuttujan x arvoilla ainoastaan siinä tapauksessa, että c1 = c2 = . . . = cn = 0.

Jos yhtälö toteutuu kaikilla muuttujan x arvoilla siten, että yksikin luvuista ck on /=0, funktiot ovat lineaarisesti riippuvia.

Jos erityisesti jokin funktioista yk(x) on nollafunktio, ts. = 0 kaikilla x, voidaan tätä vastaava kerroin ck valita nollasta eroavaksi, ja funktiot ovat siis lineaarisesti riippuvia.

Yhtälöä c1 y1 (x) + c2y2(x) + . . . + cnyn(x) = 0 on ajateltava testiyhtälönä, joka on voimassa kaikilla muuttujan x arvoilla ja josta pyritään ratkaisemaan luvut ck. Ratkaisuksi kelpaa aina, että kaikki luvut ck ovat = 0, mutta tämä ei ratkaise lineaarista riippuvuutta tai riippumattomuutta. Oleellista on, löytyykö muita ratkaisuja. Jos ei, niin funktiot ovat lineaarisesti riippumattomat. Jos löytyy, niin ne ovat lineaarisesti riippuvat.

Jos funktiot ovat lineaarisesti riippuvia, on ainakin yksi kerroin /=0; olkoon esimerkiksi cp /= 0. Tällöin testiyhtälöstä voidaan ratkaista funktio yp(x):

yp(x) = - sum n

k=1
k/=pck
---
cp yk(x).

Kahden funktion tapauksessa tämä merkitsee, että toinen on sama kuin toinen vakiolla kerrottuna: Jos c1y1 + c2y2(x) = 0 kaikilla x ja c1/=0, niin

y1(x) = my2(x),   missä m = -c2
c--
  1.


Esimerkki: lineaarisesti riippumattomat ja lineaarisesti riippuvat funktiot
Teoria: homogeeniyhtälön lineaarisesti riippumattomat perusratkaisut

SKK 15.5.2001