Peruskäsitteet

Teoria : Peruskäsitteet

Kertaluku ja normaalimuoto

Differentiaaliyhtälön kertaluku määräytyy sen mukaan, mikä on korkein derivaatan kertaluku, joka yhtälössä esiintyy.

Esimerkkiyhtälöiden

	y' = cos x,
	y'' + 4y = 0,
	x²y'' - xy' - y = 0,
	y' = x³e^-y

kertaluvut ovat siten 1, 2, 2 ja 1. Laplacen differentiaaliyhtälö

u_xx + u_yy + u_zz = 0

on toista kertalukua, koska korkeimmat esiintyvät osittaisderivaatat ovat toista kertalukua.

Tavalliset differentiaaliyhtälöt esitetään usein ns. normaalimuodossa, ts. korkeimman kertaluvun derivaatan suhteen ratkaistuina. Ensimmäisen kertaluvun yhtälö on normaalimuodossa

y' = f(x, y),

missä oikea puoli f(x, y) on muuttujista x ja y riippuva lauseke. Toisen kertaluvun yhtälö saa vastaavasti muodon

y'' = f(x, y, y')

ja kertalukua n oleva yhtälö muodon

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', . . . , y^(n-1)).

Korkeimman kertaluvun derivaatan suhteen ratkaiseminen ei luonnollisesti ole aina algebrallisesti mahdollista.

Normaalimuodossa on oleellista, että korkeimman kertaluvun derivaatan kerroin on = 1. Epäoleellista sen sijaan on, millä puolella yhtäläisyysmerkkiä termit sijaitsevat. Siten esimerkiksi muotoa y' - f(x, y) = 0 voidaan aivan hyvin kutsua normaalimuodoksi.

SKK 15.5.2001