Dodekaedrin rakentuminen

Animaatio pyrkii antamaan mielikuvan dodekaedrin rakenteesta. Siirrä kursoria hitaasti vasemmalta oikealle kuvan päällä ja tarkastele, miten dodekaedri muodostuu. Selitystekstit näkyvät oikealla. Sivun alaosassa on harjoitustehtäviä.

Dodekaedri muodostetaan vaiheittain: Lähtökohtana on säännöllisen viisikulmion muotoinen pohjatahko. Tämän ympärille asetetaan viisi muuta viisikulmiota. Näitä kierretään ylös niin pitkälle, että niiden sivusärmät kohtaavat. On syntynyt dodekaedrin maljamainen alaosa. Maljamainen alaosa peilataan vaakasuorassa tasossa, jolloin saadaan symmetrinen yläosa. Yläosaa kierretään pystyakselin ympäri sopivasti. Sitä lasketaan alaspäin, kunnes se koskettaa alaosaa ja yhdessä tämän kanssa muodostaa dodekaedrin.

Harjoitustehtäviä

1. Montako astetta symmetrisesti peilattua dodekaedrin yläosaa on kierrettävä, jotta se voidaan liittää alaosaan?
2. Laske dodekaedrin vierekkäisten sivutahkojen välinen diedrikulma.
3. Laske dodekaedrin kärkien lukumäärä $k$, särmien lukumäärä $s$ ja sivutahkojen lukumäärä $t$. Totea, että nämä toteuttavat (kaikille konvekseille monitahokkaille voimassa olevan) Eulerin yhtälön $k - s + t = 2$.
4. Dodekaedrin avaruuslävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi kärkeä, mutta joka ei ole särmä eikä sijaitse missään sivutahkossa. Laske avaruuslävistäjien lukumäärä.