Simo K. Kivelä 27.4.2010

Napoleonin lause

Napoleonin lauseeksi kutsutaan seuraavaa:

Jos kolmion jokaiselle sivulle kolmion ulkopuolelle asetetaan tasasivuinen kolmio ja näiden keskipisteet yhdistetään, syntyy tasasivuinen kolmio alkuperäisen kolmion muodosta riippumatta.

Napoleon piti itseään merkittävänä matemaatikkona ja seurusteli tunnettujen matemaatikoiden, kuten Joseph Fourier'n ja Gaspard Mongen kanssa. Näkemystä hänen merkittävyydestään eivät kuitenkaan kovin monet jaa. Napoleon ei liene ollut Napoleonin lauseen ensimmäinen esittäjä lauseen nimestä huolimatta.

Alla olevassa kuviossa alkuperäinen kolmio ABC on esitetty mustalla, tuloksena syntyvä tasasivuiseksi väitetty kolmio PQR punaisella.

Tehtäviä

1. Piirrä jokin kolmio ABC ja konstruoi vastaava kolmio PQR käyttäen ainoastaan harppia ja viivoitinta geometrisesti oikeaoppisella tavalla. Konstruktion voi tehdä GeoGebrallakin, kunhan ei käytä GeoGebran sisältämiä edistyneempiä työkaluja.
2. Muunna GeoGebran keinoin alkuperäistä kolmiota ABC ja tarkkaile kolmion PQR muuntumista.
3. Todista, että kolmio PQR todella on tasasivuinen. Kuvioon on tätä varten piirretty apupiirrokseksi kolme harmaata ympyrää. Ympyrän kehä- ja keskuskulmaa koskevasta lauseesta on apua, samoin nelikulmion kulmien summasta.
4. Tutki, miten kolmioiden ABC ja PQR keskijanojen leikkauspisteet suhtautuvat toisiinsa.

Created with GeoGebra 27.4.2010

Napoleonin lauseen todistamisesta