Simo K. Kivelä 8.5.2014

Algebran peruslause

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla polynomilla \[ p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + a_{n-2} z^{n-2} + \dots + a_1 z + a_0 \] on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa. Kertoimet $a_k$ ovat reaali- tai kompleksilukuja. Lauseen todisti Carl Friedrich Gauss väitöskirjassaan vuonna 1799. Sittemmin sille on esitetty monia erilaisia todistuksia. Alla oleva muunneltava demonstraatio esittää erään todistuksen idean ja on melko helposti täydennettävissä varsinaiseksi todistukseksi.

Demonstraation taso on kompleksitaso. Musta ympyrä on origokeskinen r-säteinen ympyrä, jonka sädettä voidaan säätää liukusäätimellä. Tarkastelun kohteena on polynomi, jonka lauseke on nähtävissä avaamalla punaisen kompleksiluvun $w$ määrittely hiiren kakkospainikkeella. Polynomi on funktio kompleksitasosta kompleksitasoon. Punainen käyrä on tämän funktion mustasta ympyrästä antama kuva. Mustan pisteen $z$ kuva puolestaan on punainen piste $w$. Mustan pisteen napakulma välillä $]-\pi,\pi]$ on parametri $\varphi$, jota voidaan muuttaa liukusäätimellä. Tällöin musta piste kulkee pitkin mustaa ympyrää ja sen kuva punainen piste pitkin kuvakäyrää. Vasemmalla olevassa panelissa näkyvät pisteiden koordinaatit kompleksilukuina.

Koska punainen kuvakäyrä voi polynomista ja säteestä $r$ riippuen olla aika laajakin, voidaan kuva-alueen kokoa joutua skaalaamaan.

Algebran peruslauseen todistus voidaan esittää vaiheittain seuraavasti:

1. Voidaan olettaa, että $a_0 \neq 0$. Jos nimittäin on $a_0 = 0$, niin yhtälöllä on nollakohta $z = 0$. Voidaan myös olettaa, että $a_n = 1$, sillä polynomin nollakohdat eivät muutu, jos polynomi kerrotaan vakiolla.
2. Valitse aluksi tarkasteltavaksi polynomi $p(z) = z^5$ muuttamalla syötekentässä (Input) muuttujaa $w$; kirjoita w = z^5. Tällöin mustan ympyrän kuva on ympyrä säteestä $r$ riippumatta ja mustan pisteen kiertäessä mustan ympyrän kerran, punainen piste tekee viisi kierrosta. Kokeile! Osoita analyyttisesti: Jos polynomi on $z^n$, punainen piste tekee $n$ kierrosta.
3. Valitse $p(z) = z^3 + \frac{3}{2} z^2 + z - 1$. Tämä on kolmannen asteen polynomi. Jos kyseessä olisi pelkästään polynomi $z^3$, yhtä mustan pisteen kierrosta vastaisi punaisen pisteen kierto origon ympäri kolmeen kertaan. Totea, että myös tässä tapauksessa punainen piste kiertää origon kolmeen kertaan, kunhan $r$ on valittu kyllin suureksi. Tämä johtuu siitä, että termi $\frac{3}{2} z^2 + z - 1$ on itseisarvoltaan pienempi kuin $|z^3| = r^3$, kun $r$ on kyllin suuri. Vertaa tilanteeseen, jossa kuljet koiran kanssa origon ympäri etäisyydellä $r^3$ origosta. Jos koiran hihnan pituus on alle $r^3$, se kiertää origon yhtä moneen kertaan kuin sinä riippumatta siitä, miten se mutkittelee. Osoita analyyttisesti: Edellä sanottu pätee myös astetta $n$ olevalle reaali- tai kompleksikertoimiselle polynomille.
4. Pienennä sädettä $r$. Koska $a_0 \neq 0$, punainen käyrä kutistuu pisteeseen $a_0$ ja origo jää jossakin vaiheessa sen ulkopuolelle.
5. Koska punaisen käyrän kutistuminen on jatkuvaa (ilman hyppyjä tai käyrän katkeamista), jollakin arvolla $r$ sen tulee kulkea origon kautta. Tällöin punainen piste voidaan siirtää origoon parametria $\varphi$ muuttamalla, ts. funktion arvo tulee nollaksi. Vastaava musta piste antaa funktion nollakohdan. Polynomilla on siis ainakin yksi nollakohta! Ongelma: Tulos on havainnollisesti ajatellen ilmeinen, mutta mikä olisi se käyrän muuntumista (kutistumista) koskeva lause, joka takaa, että origon kautta kulkeva käyrä löytyy?
6. Määritä demonstraation avulla polynomin $p(z) = z^3 + \frac{3}{2} z^2 + z - 1$ nollakohtien likiarvot hakemalla sopiva $r$ ja sopiva $\varphi$ kussakin tapauksessa.

Tehtävä

Tutki joidenkin muiden polynomien nollakohtia vastaavalla tavalla ja määritä kokeilemalla niiden nollakohdat. Ratkaise myös nollakohtien tarkat arvot mikäli mahdollista. Tarkastele ainakin oletuksena olevaa polynomia $p(z) = z^3 - (2+i)z^2 + 2(1+i)z - 2i$.

Created with GeoGebra 8.5.2014