Simo K. Kivelä 3.4.2011

Heiluritasomenetelmä

Kahden kartion — ja eräiden muiden vastaavantyyppisten pintojen — leikkauskäyrä voidaan piirtämällä määrittää ns. heiluritasomenetelmällä. Lähtökohtana on tällöin jokin aksonometrinen kuva kartioista.

Alla olevassa kuviossa kolmiulotteinen koordinaatisto on esitetty koordinaattiruudustoilla. Ympyräpohjaiset kartiot on sijoitettu siten, että toisen pohja on xy-tasossa ja toisen zx-tasossa. Kartioiden huippujen kautta kulkee suora. Tämän kautta asetetaan taso — heiluritaso — joka leikkaa x-akselin pisteessä X. Pistettä X siirrettäessä tason asento muuttuu, jolloin se 'heiluu' huippujen kautta kulkevan suoran ympäri.

Heiluritaso leikkaa kummankin kartion enintäänkin pitkin kahta suoraa. Näiden leikkauspisteet sijaitsevat kummankin kartion pinnalla, ts. ovat niiden leikkauskäyrän pisteitä. Heiluritason asentoa muuttumalla, ts. pistettä X siirtämällä saadaan konstruoiduksi useita leikkauskäyrän pisteitä ja tällä tavoin hahmotetuksi koko käyrä. Muuttuvat osat on esitetty punaisella.

Alla oleva Java-sovelma on tehty GeoGebralla. Leikkauskäyrän pisteitä saadaan piirretyksi siirtämällä hiirellä pistettä X. Ylärivin painikkeista tulee tällöin vasemmanpuoleisen, nuolella merkityn painikkeen olla aktiivisena. Piirretty leikkauskäyrä voidaan poistaa valikon Näytä (View) valinnalla Näytä uudestaan (Refresh Views).

Kartioiden pohjaympyröitä voidaan muuttaa siirtämällä hiirellä pohjaympyrän keskipistettä ja kahta kehällä olevaa pistettä. (Kehäpisteet ovat ympyrän kuvana olevan ellipsin liittosäteiden päätepisteet.) Kartioiden huippuja ja suoraa, jolla ne sijaitsevat, voidaan myös muuttaa.

Tehtäviä

1. Mieti erikseen kummastakin kartiosta, mikä osa leikkauskäyrästä on kartion etu-, mikä takapuolella.
2. Sijoita kartiot sellaiseen asentoon, että leikkauskäyrä jakautuu kahtia.
3. Etsi rajatapaus, jossa yksiosainen leikkauskäyrä muuttuu kaksiosaiseksi.
4. Aseta kartiot sellaiseen asemaan, että ne eivät leikkaa toisiaan.

Created with GeoGebra 3.4.2011