Simo K. Kivelä 22.4.2010

Hyperbolisen geometrian Poincarén ympyrämalli

Euklidisessa geometriassa on voimassa paralleeliaksiooma: Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää täsmälleen yksi samansuuntainen suora. Geometriaa sanotaan epäeuklidiseksi, jos paralleeliaksiooma ei päde, mutta muut euklidisen geometrian aksioomat ovat voimassa. Hyperbolisessa epäeuklidisessa geometriassa suoran ulkopuolisen pisteen kautta voidaan piirtää useita samansuuntaisia suoria, ts. suoria, jotka eivät leikkaa alkuperäistä suoraa.

Mallin muodostaminen hyperboliselle epäeuklidiselle geometrialle edellyttää joidenkin geometristen käsitteiden tulkitsemista uudella tavalla. Poincarén ympyrämallissa tarkastelun kohteena oleva geometrinen taso muodostuu annetun ympyrän — reunaympyrän — sisäpuolisista pisteistä. Ulkopuoliset ja kehäpisteet eivät kuulu geometriaan lainkaan. Suorat ovat reunaympyrän sisäpuolisia ympyränkaaria, jotka kohtaavat reunaympyrän kohtisuorasti (ts. tangentit ovat kohtisuoria).

Alla olevassa GeoGebra-sovelluksessa on aluksi näkyvissä vain reunaympyrä. Hyperbolisen geometrian suoria voidaan piirtää työkalurivin viimeisellä painikkeella (ikonina ruuvimeisseli ja jakoavain). Syötteeksi on annettava kaksi pistettä, joiden kautta suoran tulee kulkea, ja kolmantena reunaympyrä.

Sovelluksen avulla voi tutkia vaikkapa seuraavia tehtäviä.

Tehtäviä

1. Piirrä suora ja aseta piste sen ulkopuolelle. Piirrä tämän pisteen kautta suoria, jotka ovat alkuperäisen suoran suuntaisia (ts. joilla ei ole yhteisiä pisteitä sen kanssa).
2. Piirrä kolmio, muuntele sitä ja tutki, missä rajoissa kolmioiden kulmien summa voi vaihdella.
3. Tutki, leikkaavatko kolmion kulmien puolittajat toisensa samassa pisteessä.
4. Tutki, onko Pappoksen lause voimassa hyperbolisessa geometriassa.

Periaatteessa voitaisiin tutkia myös esimerkiksi kolmion korkeus- ja keskijanojen sekä keskinormaalien leikkauspisteitä, mutta esillä oleva sovellus ei sisällä tätä varten riittäviä työkaluja. Sama koskee ympyröiden piirtämistä. Näitä varten täytyy määritellä, mitä tarkoitetaan hyperbolisen geometrian kahden pisteen välisellä etäisyydellä. Tämä voidaan tehdä; reunaympyrän kehää lähestyvä piste pakenee tämän etäisyyden mielessä äärettömän kauas.

Created with GeoGebra 22.4.2010