Simo Kivelä, 30.10.2009

Funktion jatkuvuus

Funktion $f$ sanotaan olevan jatkuva pisteessä $a$, jos seuraava ehto pätee: \[ \forall(\varepsilon > 0)\,\exists(\delta > 0)\,(|x-a| < \delta \implies |f(x)-f(a)| < \varepsilon). \] Toisin sanoen: Jokaista positiivilukua $\varepsilon$ kohden tulee löytyä sellainen positiiviluku $\delta$, että jos arvojen $x$ ja $a$ etäisyys on pienempi kuin $\delta$, on vastaavien funktionarvojen etäisyys pienempi kuin $\varepsilon$. Funktionarvot tulee siis voida puristaa miten lähelle toisiaan tahansa puristamalla muuttujien arvot riittävän lähelle toisiaan.

$\varepsilon =$ epsilon, $\delta =$ delta.

Kyseessä on peli: Minä annan sinulle epsilonin. Sinun on onnistuttava antamaan jokin delta, jolla ehto toteutuu. Jos yhdenkin epsilonin kohdalla epäonnistut, funktio ei ole jatkuva.

Alla oleva interaktiivinen animaatio pyrkii havainnollistamaan tätä. Tarkasteltava funktio voidaan valita syöttörivillä kirjoittamalla esimerkiksi f(x) = cos(x). Valmiiksi määriteltyinä on muutama funktio: \begin{align*} f_1(x) &= x^2 + 2x + 1; \\ f_2(x) &= \sin(2x); \\ f_3(x) &= \sqrt[3]{x}; \\ f_4(x) &= \begin{cases} (1+x)/2,\ &\text{kun $x < 0$}, \\ 1-x^2,\ &\text{kun $x \ge 0$}; \end{cases} \\ f_5(x) &= \begin{cases} \tfrac{1}{2}\sin(1/x),\ &\text{kun $x \neq 0$}, \\ 0,\ &\text{kun $x = 0$}. \end{cases} \end{align*} Nämä saadaan käyttöön kirjoittamalla syöttöriville f(x) = f_1(x) jne.

Tarkastelupiste on $a = 0$. Tätä voidaan muuttaa antamalla uusi arvo syöttörivillä.

Varsinainen peli muodostuu siten, että ensin valitaan liukusäätimellä jokin $\varepsilon$. Tämän jälkeen etsitään liukusäädintä käyttäen valittuun lukuun $\varepsilon$ sopiva $\delta$. Täplä on punainen, jos $\delta$ ei toteuta jatkuvuuden määrittelyssä vaadittua ehtoa, ja muuttuu vihreäksi, kun $\delta$ kelpaa. Luku $\delta$ ei ole yksikäsitteinen: jos jokin luku kelpaa, myös sitä pienemmät luvut kelpaavat.

Kuviossa vihreät viivat rajaavat funktionarvolle $f(a)$ ympäristön, jonka säde on $\varepsilon$, punaiset viivat vastaavasti muuttujanarvolle $a$ ympäristön, jonka säde on $\delta$.

Jos funktio on pisteessä $a$ jatkuva, jokaiselle luvulle $\varepsilon$ löytyy vastaava $\delta$. Jos funktio on epäjatkuva, on olemassa jokin $\varepsilon$ (yleensä pieni), jota vastaavaa kelvollista lukua $\delta$ ei löydy. Epäjatkuvan funktion tapauksessakin riittävän isoja lukuja $\varepsilon$ vastaamaan saattaa löytyä $\delta$; oleellista onkin, löytyykö $\delta$ jokaiselle luvulle $\varepsilon$.

Created with GeoGebra 30.10.2009

Tehtäviä

1. Määritä kuvion perusteella luvun $\varepsilon$ arvoja 0.1, 0.2, 0.3, ... vastaavat mahdollisimman suuret luvut $\delta$, mikäli tällaiset ovat olemassa. Tarkastele erikseen jokaista valmiiksi määriteltyä funktiota.
2. Millä luvun $\varepsilon$ arvoilla vastaava $\delta$ löytyy epäjatkuvissa esimerkeissä?
3. Onko mahdollista määritellä epäjatkuva funktio, jolla mitään lukua $\varepsilon$ kohden ei löydy vastaavaa lukua $\delta$?
4. Lukujen $\varepsilon$ ja $\delta$ välisen analyyttisen riippuvuuden etsiminen johtaa yleensä suhteellisen hankalaan epäyhtälöiden käsittelyyn. Yksinkertaisessa tapauksessa tämä voi olla helppoakin: Määritä $\delta$ funktiona luvusta $\varepsilon$, kun $f(x) = 3|x|$, $a = 0$.

Huomautus

Animaatiossa luvun $\delta$ kelpoisuus tarkistetaan numeerisesti laskemalla pisteen $a$ $\delta$-säteisessä ympäristössä useita tasavälisiä funktion arvoja. Lukujen $\varepsilon$ ja $\delta$ välistä analyyttista riippuvuutta ei siis etsitä. Tällöin saavutettava tarkkuus lienee yleensä riittävä, vaikka ehkä onkin mahdollista löytää esimerkkejä, joissa menetelmä antaa vääriä tuloksia.