Simo K. Kivelä 12.12.2013

Kolmion merkilliset pisteet

Missä tahansa kolmiossa keskijanat leikkaavat toisensa samassa pisteessä. Sama koskee kolmion sivujen keskinormaaleja, kolmion korkeusjanoja ja kulmanpuolittajia. Alla olevassa kuvassa voi valintaruutujen avulla asettaa näkyviin erilaisia asioita. Kolmiota voi myös muuntaa siirtelemällä hiirellä sen kärkiä.

Tehtäviä

1. Aseta vuorollaan näkyviin keskijanat, keskinormaalit, korkeusjanat ja kulmanpuolittajat. Totea, että ne todella leikkaavat toisensa samassa pisteessä kolmion muodosta riippumatta.
2. Edellä mainituista neljästä leikkauspisteestä kolme sijaitsee aina samalla suoralla, ns. Eulerin suoralla. Mitkä?
3. Missä tilanteessa kaikki neljä leikkauspistettä yhtyvät? Onko mahdollista, että pisteistä vain kaksi yhtyy?
4. Aseta näkyviin keskinormaalit ja keskinormaalitodistus. Kuvioon tulee tällöin apupiirros, jonka avulla voidaan perustella, että keskinormaalit todella aina leikkaavat samassa pisteessä. Esitä tämä perustelu, ts. kirjoita geometrinen todistus.
5. Sama tehtävä kulmanpuolittajille.
6. Sama tehtävä korkeusjanoille.
7. Sama tehtävä keskijanoille.
8. Asettaessasi kulmanpuolittajat näkyviin kuvioon tulee ylimääräisiäkin suoria. Mitä nämä ovat? Millaisia leikkausominaisuuksia niillä näyttäisi olevan?

Created with GeoGebra 12.12.2013