Simo K. Kivelä 1.4.2011
Ruprecht von der Pfalzin probleemassa on selvitettävä, voidaanko kuutioon työstää sellainen reikä, että siitä voidaan työntää läpi toinen samankokoinen kuutio. Vastaus on myönteinen, ja se voidaan selvittää perinteisen deskriptiivisen geometrian menetelmillä piirtämällä.
Alla oleva kuvio esittää probleeman ratkaisun Mongen projektion avulla työvälineenä GeoGebra. Kuvion alaosa on Mongen perusprojektio, ts. kohtisuora projektio xy-tasoon, ja yläosa pystyprojektio, ts. kohtisuora projektio yz-tasoon. Kuvion keskellä oleva vaakasuora akseli on kummankin projektion yhteinen y-akseli.
Vasemmalla alhaalla on nähtävissä (mustalla) kuutio suoraan ylhäältä päin, so. kuution perusprojektio. Punaisella on sama kuutio 45° kierrettynä. Yläpuolella on mustan kuution pystyprojektio. Musta kuutio projisioidaan myös kaltevaan tasoon, joka leikkaa xy-tasoa pitkin y-akselin normaalia (näkyvissä perusprojektiossa) ja yz-tasoa pitkin pisteen kaltevaa suoraa (näkyvissä pystyprojektiossa). Kaltevuutta voidaan säätää muuttamalla kaltevuuskulmaa α liukusäätimellä.
Kuutiosta kaltevaan tasoon syntyvä projektiokuva on nähtävissä oikealla alhaalla perusprojektion puolella (mustalla). Tämän konstruoinnissa tarvittavat apuviivat on esitetty harmaalla. Projektiokuva on kuusikulmio. Sen sisään mahtuu neliö (punainen), jonka sivun pituus on sama kuin kuution särmän pituus. Tämä osoittaa, että kuutioon voidaan työstää kaltevan tason normaalin suunnassa sellainen reikä, että samankokoinen kuutio voidaan työntää siitä läpi.
Tehtävä
Tutki, missä suunnissa reiän työstäminen kuutioon on mahdollista. Muuta tätä varten tason kaltevuutta liukusäätimellä.
[Teksti jatkuu kuvion alapuolella.]
Created with GeoGebra 1.4.2011
Mongen projektio ei kuitenkaan anna kovin havainnollista kuvaa tilanteesta. Aksonometrinen kuva olisi havainnollisempi. Sen laatiminen deskriptiivisen geometrian menetelmillä on mahdollista, mutta varsin työlästä. Modernimpana vaihtoehtona on kuvan laskeminen sopivalla ohjelmalla: alla oleva kuva on laadittu Mathematica-ohjelmalla kirjoittamalla noin 20 rivin ohjelmakoodi.
