Eksponentiaalinen väestönkasvu

Väkiluvun kasvun sanotaan usein olevan eksponentiaalista, mikä tarkoittaa, että väkiluvun p riippuvuus ajasta t on muotoa

p(t) = ae^bt,

missä a ja b ovat sopivia (positiivisia) vakioita.

Suomen väkiluku on 1900-luvulla kehittynyt seuraavasti:

vuosi	1900	1910	1920	1930	1940	1950	1960	1970	1980
väestö/1000 henk.	2656	2943	3148	3463	3696	4030	4446	4705	4771

Määritä kokeilemalla vakiot a ja b siten, että eo. funktio p(t) mahdollisimman hyvin kuvaa Suomen väkiluvun kehitystä. Tehtävän yksinkertaistamiseksi ilmaise aika kymmenissä vuosissa siten, että arvo t = 0 tarkoittaa vuotta 1900.

Ratkaisu

Kokeellisella menetelmällä tuskin on mahdollista päästä kovin suureen tarkkuuteen. Ongelmana on ennen muuta väkilukupisteiden ja eksponenttikäyrän yhteensopivuuden arviointi vain silmämääräisesti.

Tarkempi laskenta edellyttää täsmällisemmän yhteensopivuusmitan valitsemista. Usein käytetään ns. pienimmän neliösumman menetelmää, jossa minimoidaan mitattujen pisteiden ja käyrän välisen etäisyyden neliösumma. Tässä tapauksessa kyseessä on eksponenttikäyrästä laskettujen ja todellisten väkilukujen neliösumma:

d(a, b) = sum n

k=1 ( )
aebtk - pk ²,

missä t_k tarkoittaa vuotta ja p_k vastaavaa väkilukua; n on datapisteiden lukumäärä, esimerkissä 9. Tavoitteena on määrittää luvuille a ja b sellaiset arvot, että funktiolla d(a, b) on minimiarvo. Kyseessä on siten kahden muuttujan ääriarvotehtävä. Tämä voidaan ratkaista muodostamalla funktion d osittaisderivaatat muuttujien a ja b suhteen ja vaatimalla, että nämä ovat = 0. Näistä yhtälöistä ratkaistaan a ja b luonnollisimmin jollakin numeerisella menettelyllä, esimerkiksi Newtonin menetelmän kaksiulotteisella vastineella.

Tulokseksi saadaan tällöin a 2745.27, b 0.0742638.

Piilota ratkaisu