Kanavan rakentaminen

Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994

Kaksi järveä on yhdistettävä mahdollisimman lyhyellä kanavalla. Määritä kanavan alku- ja loppupisteet koordinaatistossa, jossa järvien välisen kannaksen kapein kohta voidaan esittää muodossa -(x + 1) < y < x2 , -2 < x < 1.


Ratkaisu

PICT
Paraabelin y = x2 tangenttien kulmakertoimet ovat muotoa y'= 2x. Suoran y = -x - 1 suuntaisen tangentin kulmakerroin on -1, joten tällainen tangentti löytyy paraabelin pisteestä:

2x=-1
x=-1
2.

Vastaava y-koordinaatti on y = 1
4. Tangentin normaalin kulmakerroin kn saadaan yhtälöstä ( kohtisuoruusehto)

-1 . kn = -1.

Näin ollen pisteeseen (-1
2, 1
4) piirretyn normaalin yhtälö on

y - 1
4 = 1 . (x + 1-
2)
y=x + 3-
4.

Suoran y = -x - 1 ja normaalin y = x + 3
4 leikkauspiste (yhtälöparin avulla) on (-7
8, -1
8).

Piilota ratkaisu