Moottorisahan öljy

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1999

Moottorisahan öljyä myydään 1 litran ja 3 litran muovipulloissa. Pullot ovat samanmuotoiset, ja pullojen muovimäärä on suoraan verrannollinen niiden pinta-alaan.

Kuinka moninkertainen muovimäärä on 3 litran pullossa 1 litran pulloon verrattuna?

Kuinka monta prosenttia vähemmän 3 litran pullossa on käytetty muovia öljylitraa kohti kuin 1 litran pullossa?


Ratkaisu

Olkoon 3 litran pullon tilavuus V3, pinta-ala A3 ja muovimäärä m3. Pienemmän 1 litran pullon vastaavat arvot ovat V1, A1 ja m1.

Olkoon yhdenmuotoisten pullojen yhdenmuotoisuussuhde k. Tällöin

k3 = V3-
V1 = 3-
1,

josta saadaan

k = 3 V~ --
 3.

Pinta-alojen suhteen ja muovimäärien suhteen ollessa sama saadaan yhtälö

k2 = A3
---
A1 = m3
---
m1 = ( V~ 3-
  3)2 =  V~ 3-
  9  ~~ 2.08.

Muovia öljylitraa kohti on 3 litran pullossa m33- ja 1 litran pullossa m11-.

Koska m3 = 3 V~ 9-m1, niin voidaan laskea kuinka monta prosenttia 3 litran pullossa on vähemmän muovia öljylitraa kohti kuin 1 litran pullossa:

           m3-
100(m1-----3-)
      m1% =          3 V~ 9-
100(1----3-)m1-
      m1%  ~~ 30.7 %.

Piilota ratkaisu