Pallon lentorata

Kevään pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1986

Pallo potkaistaan ilmaan 30o kulmassa ja se lentää 50 m:n päähän. Kuinka korkealla pallo käy, jos sen lentorata on paraabeli, jonka akseli on pystysuora?


Ratkaisu

Asettamalla paraabeli aukeamaan alaspäin y-akselin suhteen symmetrisesti, voidaan paraabelin yhtälö kirjoittaa muotoon

y = -ax2 + b,

missä vakio b on samalla paraabelin huipun y-kooordinaatti, ts. etsitty lentoradan ylimmän kohdan korkeus.
PIC
Koska lähtökulma on 30o ja lähtökulman tangentti on kyseisen funktion derivaatan arvo y'= -2ax kohdassa x = -25, niin voidaan kirjoittaa yhtälö

-2 . a . (-25) = tan 30o.

tan30o = 1
 V~ -
 3, joten nyt voidaan ratkaista parametri a:

50a = 1 V~ 
3
a = 1 V~ 
503.

Koska pisteet (-25, 0) (ja myös (25, 0)) ovat paraabelin pisteitä, niin tämän perusteella voidaan ratkaista kysytty b:

0 = -1 V~ 
503 . (-25)2 + b
b = 625
 V~ 
503 = 25
- V~ -
2 3 =    V~ --
25  3
--6---  ~~ 7.2(m).

Piilota ratkaisu