Rahauudistusta odotellessa

Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1962

Pankkiin talletetaan viitenä peräkkäisenä vuotena, v. 1963–67, kunkin vuoden alussa 2000 mk kasvamaan korkoa korolle. Tämän jälkeen näin muodostunut pääoma kasvaa edelleen korkoa korolle. Minkä vuoden lopussa sen vuotuinen korko ensimmäisen kerran ylittää 1000 mk? Korkoprosentti on 4 1
2 .

Ratkaisu

Merkitään p = 1.045.

Tällöin vuoden 1967 lopussa tilillä oleva rahasumma on

2000(p⁵ + p⁴ + p³ + p² + p) = 2000 ^. p(p⁴ + p³ + p² + p + 1) = 2000 ^. p ^. 5
1--p--
1 - p .

Olkoon x vuosien lukumäärä vuodesta 1967 eteenpäin. Tällöin yhtälöksi saadaan

0.045 ^. p^x ^. 1- p5
------
1 - p = 1000,

jonka ratkaisu on 15.1.

Piilota ratkaisu