Rekan puoliperävaunu

Insinööriosastojen valintakoetehtävä vuodelta 1997

PIC
Rekan puoliperävaunu on kiinnitetty vetoautoon tapilla A, joka alkuhetkellä on xy -tason origossa. Perävaunun taka-akselin keskipiste B on alkuhetkellä x -akselin pisteessä (a, 0), missä a > 0. Kun vetovaunu lähtee liikkeelle, A liikkuu y -akselia pitkin ylöspäin, ja B liikkuu siten, että joka hetki sen liikesuunta on kohti A:n senhetkistä sijaintia. Osoita, että B kulkee pitkin käyrää y = f(x), missä

f(x) = aln      V~ -2----2-
a-+---a----x-
      x -  V~ --------
  a2 - x2.


Ratkaisu

Olkoon y = g(x) käyrä, jota pitkin piste B liikkuu; on näytettävä g(x) = f(x).

Funktio g toteuttaa ehdon

g'(x) = - V~ --2----2
--a----x-
    x

PIC
Lisäksi on selvää, että g(a) = 0.
Toisaalta, derivoimalla annettu f:n lauseke nähdään, että

f'(x) = - V~ --------
  a2 - x2
---------
    x;

Lisäksi sijoittamalla x = a saadaan f(a) = 0.
Koska g'(x) = f'(x), on g(x) = f(x) + C, missä C on vakio. Koska lisäksi g(a) = f(a), on oltava C = 0. Siis g(x) = f(x). []

Piilota ratkaisu