Simo K. Kivelä, 9.11.2007

Derivaatta tangentin kulmakertoimena

Pisteet (a,f(a)) ja (a+h,f(a+h)) sijaitsevat käyrällä y=f(x). Näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on

((f(a+h)-f(a))/h) .

Tätä kutsutaan myös funktion erotusosamääräksi pisteessä x=a. Pisteiden kautta kulkeva suora on käyrän sekantti. Kun pisteet lähestyvät toisiaan, ts. h->0, sekantti kääntyy vähitellen käyrän tangentiksi. Tällöin erotusosamäärä lähestyy tangentin kulmakerrointa.

Toisaalta raja-arvoa

(lim_(h->0)) ((f(a+h)-f(a))/h)

kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä a, ja sitä merkitään f'(a). Tällä tavoin geometrisesti tulkittuna derivaatta on siis funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin.

Siirrä alla olevassa demonstraatiossa muuttujaan h liittyvää liukusäädintä siten, että h->0, ja tarkkaile sekä sekantin kääntymistä että kuvion alapuolella ilmoitetun kulmakertoimen muuttumista.

Voit myös vaihtaa tarkastelupistettä a liukusäätimen avulla tai valita jonkin muun funktion pudotusvalikosta.

Muuttujalle a tai h voi antaa arvon myös näppäimistöltä napauttamalla ensin säätimen vieressä olevaa +-merkkiä.

Tehtäviä

1) Valitse funktioksi f(x)=(x^3)-1. Valitse jokin tarkastelupiste a ja pidä se kiinteänä. Muuta h:n arvoa siten, että se lähestyy nollaa a) positiiviselta, b) negatiiviselta puolelta. Lähestyykö tangentin kulmakerroin samaa arvoa riippumatta siitä kummalta puolelta h lähestyy nollaa? Jos näin on, niin kirjaa muistiin a:n arvo ja vastaava kulmakertoimen, ts. derivaatan f'(a) arvo.

2) Anna edellisessä esimerkissä tarkastelupisteelle a useita arvoja tasavälisesti ja riittävän tiheästi. Määritä vastaavat kulmakertoimen eli derivaatan arvot ja tee näistä taulukko. Hahmottele tämän avulla derivaattafunktion f'(x) kuvaaja.

3) Kuten edellinen tehtävä, mutta funktiona a) sin(x), b) (e^x).

4) Kertomafunktion n! määrittely voidaan ns. gammafunktion avulla laajentaa melkein kaikille reaaliluvuille. Piirrä samalla tavoin kuin tehtävässä 2 funktion f(x)=1/x! derivaatan kuvaaja.

5) Toista ensimmäisen esimerkin tarkastelut, kun funktiona on f(x)=x^2+|x-1| (merkintä (x^2)+Abs[x-1] Mathematican merkintätavan mukaisesti) ja tarkastelupisteenä a=1.

6) Tarkastele funktiota f(x)=(x^3)-1 ja jotakin kiinteää a:n arvoa. Laadi taulukko h:n arvoista ja vastaavista kulmakertoimen k arvoista. Hahmottele taulukon perusteella funktion k(h) kuvaaja. Minkä funktion kuvaaja tämä on?