Simo K. Kivelä 13.7.2009

Kompleksiset juuret (z^(1/n))

Kompleksiluvun z juuri w=(z^(1/n)) tarkoittaa yhtälön (w^n)=z ratkaisuja. Näitä on yleensä n eri suurta. Ne sijaitsevat kompleksitasossa origokeskisellä ympyrällä, jonka säde on r=((|z|)^(1/n)). Juuret ovat ympyrällä tasavälisesti, jolloin kahden peräkkäisen juuren välinen keskuskulma on φ=2ℼ/n.

Alla olevassa animaatiossa voidaan valita juuren indeksi n ja juurrettava siirtämällä harmaata pistettä hiirellä. Juuret näkyvät tällöin ympyrän kehällä pisteinä, joista yksi on vihreä ja muut mustia.

Vihreä piste on juuren päähaara, ts. se arvo, joka juurelle valitaan määriteltäessä yksikäsitteistä juurifunktiota. Laskimet ja tietokoneohjelmat antavat tämän arvon juurta numeerisesti laskettaessa.

Tehtäviä

1) Määritä graafisesti kaikki arvot juurelle ((-1+2 i)^(1/5)).

2) Mikä on juuren ((-2)^(1/3)) päähaaran mukainen arvo?

3) Millä muuttujan arvoilla juurifunktio on epäjatkuva?

4) Miten suuri voi enintään olla juuren (z^(1/n)) päähaara-arvon argumentti (napakulma)?