Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

3 Kompleksiluvut

3.1 Kompleksitaso

Tehtävä 81
Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.


Tehtävä 82
Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen ns. tulon nollasääntö: z1z2 = 0 ===> z1 = 0  \/ z2 = 0.


Tehtävä 83
Saata kompleksiluvut

a) (1 + i)(1 - i)5,   b) -1---i--
1 + i V~ 3--

muotoon x + iy. Laske lukujen moduuli ja argumentti.


Tehtävä 84
Olkoon u = cos 0.5 + i sin 0.5 ja z0 = 1 + i. Laske kompleksiluvut wk = ukz0, k = 1, 2, 3, . . . , ja piirrä pisteiden sijainti kompleksitasossa. Miten pisteet muuttuvat, jos valitaan u = 0.9(cos 0.5 + i sin 0.5)? Millainen vaikutus luvun u potensseilla kertomisella on?


Tehtävä 85
Todista, että kaikilla z1, z2  (- C pätee

(1 + |z1|2)(1 + |z2|2) > |1 + z1z2|2.


Tehtävä 86
Olkoon Re z = Im z = a. Millä arvoilla a pätee |z - i| < |z - 3|? Piirrä kuvio.

Vastaus


Tehtävä 87
Tutki, mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat seuraavat ehdot:

a) |z - 1| + |z + i| = 4,   b) |z + 1| - |z - i| = 1,   c) |z + i| = 2|z - i|,
d)  arg z---1-
z - i = p-
4,   e)  arg --z---
3 - z = p-
4.

Piirrä kuviot.

Vastaus


Tehtävä 88
Piirrä se kompleksitason alue, jossa

a) {
   1 < |z - 1 - i|<  2
   p           p
   4 < arg z < 2   ,     b) {
  |z-  1|+ |z-  i|< 2
                       p
  0 < arg(z + 1 + i) < 4   .

Vastaus


Tehtävä 89
Määritä sup{ arg z | |z - 3 - 4i| < 3,  arg z  (- [0, 2p[ }. Onko kyseessä myös maksimi?

Vastaus


Tehtävä 90
Etsi kahden desimaalin tarkkuudella sup S ja inf S, kun

S = { arg z | |z + 5i - 2| < 3 }.

Tässä arg z valitaan väliltä [0, 2p[. Piirrä kuvio.


Tehtävä 91
Minkä käyrän piirtää   a) z2, kun z piirtää käyrän arg(z - i) = p4;   b) zz + 2z + z + 1, kun z piirtää ympyrän |z| = 1;   c) z + 1 + i, kun z piirtää käyrän |z + i| = 1? Piirrä kuviot.

Vastaus


Tehtävä 92
Millä kompleksitason käyrällä z---i
z + i on puhtaasti imaginaarinen?

Vastaus


3.2 Kompleksilukujen potenssit ja juuret

Tehtävä 93
Laske seuraavien kompleksilukujen moduuli ja argumentti saattamatta lukuja muotoon x + iy:

a) (1 + i)6,   b) (1 - i V~ --
  3)(1 - i)2,   c) - V~ 2---2i-
(  3 + i)2.

Vastaus


Tehtävä 94
Kehitä de Moivren kaavan avulla   a) sin 5f polynomiksi, jonka muuttujana on sinf,   b) tan 3f rationaalilausekkeeksi muuttujasta tan f.

Vastaus


Tehtävä 95
Lausu   a) cos 4f funktioiden cos 2f ja cos 4f avulla,   b) sin 5f funktioiden sin f, sin3f ja sin 5f avulla.

Vastaus


Tehtävä 96
Laske (cos t + i sin t)5 a) de Moivren kaavan avulla, b) binomikaavan avulla. Minkälaiset trigonometrian kaavat tästä saadaan?


Tehtävä 97
Laske geometrinen summa

 sum n

k=0(cos t + i sin t)k.

Millaiset trigonometrisia funktioita koskevat kaavat saadaan tuloksen reaali- ja imaginaariosasta? Piirrä summafunktion reaaliosan ja imaginaariosan kuvaajat tapauksissa n = 5, 25, 100.


Tehtävä 98
Määritä seuraavien juurien kaikki arvot:

a)  V~ ---
 4- 4,   b)  V~ -----
 6- 64,   c)  V~ -----
 3i- 1,   d)  V~ ------
  3 + 4i,   e)  V~ ---------
  - 7 + 24i.

Vastaus


Tehtävä 99
Määritä viiden desimaalin tarkkuudella kaikki ne kompleksiluvut, joiden viides potenssi = 1. Piirrä kuvio lukujen sijainnista kompleksitasossa.


Tehtävä 100
Juuren 6 V~ ------
 2 + 3i likiarvo on 1.2217 + 0.2019i. Piirrä kuva, jossa juuren kaikki arvot on sijoitettu kompleksitasoon (laskematta juurten likiarvoja).


Tehtävä 101
Olkoon z = 12(1 + i V~ -
 3). Tutki, millä kokonaisluvuilla n pätee zn = z.


Tehtävä 102
Olkoon w = cos 2p3+i sin 2p3-. Laske   a) (aw+bw2)(aw2+bw),  b) (a+b+c)(a+bw+cw2)(a+bw2+cw).

Vastaus


Tehtävä 103
Olkoon f(t) = cos t + i sin t reaalimuuttujan t kompleksiarvoinen funktio ja g(z) = Im  V~ 2
z kompleksimuuttujan z reaaliarvoinen funktio. Piirrä reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion gof kuvaaja. Valitse riittävän pitkä tarkasteluväli. Vertaa kuvaajaa tapaukseen g(z) = Im z. Miksi kuvaaja näyttää sellaiselta kuin näyttää?


Tehtävä 104
Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla (-1)p. Yritä selittää saamasi tulos. Mikä mahtaa olla tarkka arvo?


Tehtävä 105
Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla ii. Yritä selittää saamasi tulos.


3.3 Polynomeista

Tehtävä 106
Ratkaise seuraavat yhtälöt käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoja; saata juuret muotoon x + iy.

a) z2 + 2iz - i - 1 = 0,   b) z2 - 4iz - 4 + i = 0,   c) z2 - (3 + 5i)z + (-4 + 7i) = 0,
d) z4 - 2z2 + 4 = 0,   e) z4 + (1 - 2i V~ 3-)z2 - 3 - i V~ 3- = 0.

Vastaus


Tehtävä 107
Määritä a  (- C siten, että z = 1 + i on yhtälön z 3 = a + i juuri. Esitä muut juuret napakoordinaattimuodossa.

Vastaus


Tehtävä 108
Ratkaise toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoilla yhtälö z2 - (3 - 2i)z + (5 - i) = 0.


Tehtävä 109
Jaa polynomit   a) x4 - 1,   b) x4 + 1,   c) x6 + 1 korkeintaan toista astetta oleviin reaalikertoimisiin tekijöihin.

Vastaus


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo