Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

7 Matriisin ominaisarvot

7.1 Ominaisarvon ja ominaisvektorin käsite; laskeminen

Tehtävä 323
Olkoon c matriisin A ominaisarvo ja olkoon x/=o vastaava ominaisvektori. Osoita, että matriisilla Ap on ominaisarvona cp ja vastaava ominaisvektori on x (p  (- N).

Vastaus


Tehtävä 324
Neliömatriisi A olkoon säännöllinen (ts. käänteismatriisi A-1 on olemassa) ja c/= 0 olkoon sen ominaisarvo, x/=o vastaava ominaisvektori. Todista: käänteismatriisilla on ominaisarvo 1/c ja vastaava ominaisvektori on x.


Tehtävä 325
Osoita muodostamatta polynomiyhtälöä ominaisarvoille, että matriisin

A = (     )
 5  2
 2  8

ominaisvektorit ovat x1 = (    )
 1  2 T ja x2 = (      )
 - 2  1 T. Mitkä ovat vastaavat ominaisarvot?


Tehtävä 326
Osoita oikeaksi tai vääräksi: Jos c1 ja c2 ovat matriisin A ominaisarvoja (c1 /= c2 ), niin c1 + c2 on matriisin A ominaisarvo.


Tehtävä 327
Matriisilla

(    1    1   0 )

     0    2   0
   - 2    5  -1

on ominaisvektoreina (       )
 1  1  1 T, (         )
 1  0  - 1 T ja (       )
 0  0  1 T. Olkoon x = (        )
  2  1  1 T. Laske A11 x.


Tehtävä 328
Laske matriisin

A = (          )
    1  - 2
   -2    1

ominaisarvot ja -vektorit. Voidaanko ominaisvektorit valita ortonormeeratuiksi?

Vastaus


Tehtävä 329
Laske matriisin

A = (        )
  3  1  1
  1  3  1

  1  1  3

ominaisarvot ja -vektorit.


Tehtävä 330
Tutki matriisin

(         )
     4  a
   - 1  6

ominaisarvoja ja -vektoreita parametrin a eri arvoilla. Mitä voidaan sanoa niiden reaalisuudesta ja kompleksisuudesta? Montako lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria voidaan löytää?


Tehtävä 331
Määritä matriisin

(         )
  1   t  t2
  t   1  t
   2
  t   t  1

ominaisarvot parametrin t funktioina ja piirrä näiden kuvaajat.


Tehtävä 332
Määritä matriisin

(        )
 1    1
 0  1 + t

ominaisvektoreiden välinen kulma parametrin t funktiona. Mitä tämä kertoo ominaisvektoreiden lineaarisesta riippumattomuudesta?


Tehtävä 333
Olkoon c matriisin

A = (a   1   1  b)

  4  a   b  2
  4  b  a   2
  b  3   3  a

ominaisarvo. Millä lukuja a, b, c koskevalla ehdolla matriisilla on ominaisvektorina
()
01-10 T ?


7.2 Diagonalisointi; symmetriset matriisit

Tehtävä 334
Määritä matriisin

(               )
     1    1   0
     0    2   0
   - 2    5  -1

ominaisarvot ja -vektorit. Onko matriisi diagonalisoituva? Ilmoita myönteisessä tapauksessa vastaava diagonaalimatriisi ja similariteettimuunnosmatriisi.


Tehtävä 335
Määritä seuraavan matriisin ominaisarvot ja -vektorit sekä tutki sen diagonalisoituvuutta:

(  2    0    0    0 )

   0  - 1    0    2
   0    0    2    0
   0  - 2    0    3 .


Tehtävä 336
Laske matriisien

a) (                )
     0  - 1  -1
   - 1    0   1
   - 1    1   0 ,   b) (           )
   4  2  2
   2  1  1
   2  1  1 ,   c) (          )
   1  2  0
   2  1  1
   0  1  1

ominaisarvot ja ominaisvektorit. Muodosta ominaisvektoreista ortonormeerattu kanta.

Vastaus


Tehtävä 337
Laske matriisien

a) A = (     )
  5  2
  2  8 ,   b) A = (        )
  3  1  1
  1  3  1

  1  1  3

ominaisarvot ja ominaisvektorit. Muodosta ortogonaalinen similaritettimuunnosmatriisi T (so. matriisi, jolle pätee T -1 = T T). Kirjoita vastaava lävistäjämatriisi /\ ja totea, että T -1 AT = /\.


Tehtävä 338
Tutki similariteettimuunnosta seuraavien matriisien tapauksessa:

a) (    )
 1  1
 0  1 ,   b) (  2    0   0    0 )

   0  - 1   0    2
   0    0   2    0
   0  - 2   0    3 ,   c) (   1   2   3   4 )

    2   5   6   7
    3   6   8   9
    4   7   9  10 .

Ovatko matriisit diagonalisoituvia? Totea myönteisessä tapauksessa yhtälön T -1AT = /\ voimassaolo numeerisella laskulla.


7.3 Neliömuodot

Tehtävä 339
Kirjoita neliömuodon

a) Q(x, y) = 16x2+9y2+24xy,   b) Q(x, y) = xy,   c) Q(x, y, z) = x2+y2+z2+xy+yz+zx

esitysmatriisi, hae sen ominaisarvot ja luokittele neliömuoto.

Vastaus


Tehtävä 340
Muodosta neliömuodon Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx esitysmatriisi. Määritä tämän ominaisarvot ja ortonormeeratut ominaisvektorit. Millaisten lävistäjämatriisen kanssa esitysmatriisi on similaarinen? Luokittele neliömuoto.


Tehtävä 341
Luokittele seuraavat neliömuodot:

a)  Q(x, y, z) = (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2,
b)  Q(x, y, z) = (x + 3y - z)2 + (x - y - z)2 + (x + y - z)2.


Tehtävä 342
Tutki, missä xy-tason pisteissä seuraavat neliömuodot saavat arvon 0:

a)  Q(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2xy,
b)  Q(x, y) = x2 + 4y2 + 4xy,
c)  Q(x, y) = 3x2 + y2 + 4xy.


Tehtävä 343
Etsi jokin origon kautta kulkeva suora, jolla neliömuoto Q(x, y, z) = xy + yz + zx saa arvon 0. Onko tällaisia suoria useampia? Minkä tyyppinen neliömuoto on kyseessä?


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo