Seuraava lukuSisällysluettelo

1 Topologiaa

1.1 Ympäristö

1.2 Topologisia peruskäsitteitä

Tehtävä 1
Määritä seuraavien reaalilukujoukkojen kasautumispisteet:

a) {          }
  1
  n-| n  (-  N ,     b) {                    }
      n n - 1
  (-1)  n-+-1-|n  (-  N .

Vastaus


Tehtävä 2
Reaalilukujoukoilla S ja T olkoon seuraava ominaisuus:

x  (- S  /\ y  (- T    ===> |x - y| > c,

missä c on positiivinen vakio. Todista, että joukoilla S ja T ei ole yhtään yhteistä kasautumispistettä.


Tehtävä 3
Olkoon S reaalilukujoukko ja sup S = G. Todista, että jos G (- /S, niin G on joukon S kasautumispiste.


Tehtävä 4
Tutki, ovatko seuraavat joukot Sk avoimia tai suljettuja (tai ei kumpiakaan). Määritä joukkojen sisäpisteet, reunapisteet ja kasautumispisteet.

S1 = ] - 1, 0[  U  ]0, 1] < R,      S2 = {1n | n  (- N}  U {0} < R,
S3 = C(S2 ) < R,      S4 = {(x, y) | x  (- [a, b],  y  (- [c, d]} < R2,
S5 = {(x, y) | |x| + |y| = 1}  /~\ {(x, y) | y  (- Q} < R2,     S6 = {(x, y) | x + y  (- Q} < R2,
S7 = {(x, y, z) | xyz > 0} < R3.


Tehtävä 5
Todista, että joukko S on avoin, jos ja vain jos se on muotoa Ud(x) olevien ympäristöjen unioni.


Tehtävä 6
Todista, että avoimien joukkojen unioni on avoin.


Tehtävä 7
Anna esimerkki, joka osoittaa, että suljettujen joukkojen unioni ei välttämättä ole suljettu.


Tehtävä 8
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma --
S. Osoita: -
S = S  U @S.


Tehtävä 9
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma --
S. Osoita: a) S < T ===> S- < T-,   b) S- U -T = S-  U T-.


Tehtävä 10
Todista, että joukon reuna on suljettu joukko.


Tehtävä 11
Todista, että suljetun joukon reuna kuuluu itse joukkoon, ts. jos S on suljettu joukko, niin @S < S.


Tehtävä 12
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma S. Todista: @S < @S. Anna esimerkki, jossa @S- on reunan @S aito osajoukko.


Tehtävä 13
Todista, että joukon kasautumispisteiden muodostama joukko on suljettu.


Tehtävä 14
Olkoon S tason R2 joukko. Osoita, että joukko { V~ --2----2
  x  + y | (x, y)  (- S} < R on rajoitettu, jos ja vain jos joukot {x |  E y siten, että (x, y)  (- S} < R ja {y |  E x siten, että (x, y)  (- S} < R ovat rajoitettuja. Onko joukko S < R2 tällöin itse rajoitettu?


Tehtävä 15
Todista vääriksi seuraavat väitteet: a) Kahden alueen unioni on alue. b) Kahden alueen leikkaus on alue.


Seuraava lukuSisällysluettelo