Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

12 Lisää määrätystä integraalista

12.1 Integraalin arvioimisesta

Tehtävä 521
Osoita:

1 <  integral  1

  0     20
1 +-x--
1 + x21 dx < 22-
21.


Tehtävä 522
Osoita:

0 <  integral  100

 50      3
-----x------
x6 + 8x + 9 dx < 15 . 10-5.


Tehtävä 523
Osoita:

 V~ 2-
  e <  integral  2

 0ex2-x dx < 2e2.


Tehtävä 524
Olkoon k > 0. Osoita:

 integral  k

 0   x
--e---
1 + x dx > k.


Tehtävä 525
Olkoon a > e. Osoita:

 integral  a

 e x
-----
elnx dx > a - e.


Tehtävä 526
Osoita, että

 integral  300

 100    x5
-----------
x6 + x + 1 dx = ln 3 - d,

missä 10-12 < d < 10-10.


Tehtävä 527
Funktiosta f oletetaan, että f(0) = 1, sen derivaatta f' on jatkuva ja 1 + x < f' (x) < ex välillä [-1, 0]. Mitä arvoja f(-1) voi saada?

Vastaus


Tehtävä 528
Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b] ja olkoon  integral b
 af(x)h(x) dx = 0, olipa h mikä tahansa integroituva funktio. Osoita, että f(x) = 0 kaikilla x  (- [a, b].


12.2 Määrätyn integraalin väliarvolause

Tehtävä 529
Määritä integraalilaskun väliarvolauseessa esiintyvä q, kun kyseessä on integraali

a)  integral 
  b

 a(ax + b) dx,     b)  integral 
  b

 ax2 dx.

Vastaus


Tehtävä 530
Määritä raja-arvo

limx-->2  1
------
x - 2 integral  x2

 4et2 dt.

Vastaus


Tehtävä 531
Olkoon funktio f jatkuva ja funktio g määritelty seuraavasti:

g(x) =   x/h2,         kun x  (-  [0,h],
{
  (2h - x)/h2,  kun x  (-  [h,2h],
  0             muulloin.

Osoita (yleistettyä) integraalilaskun väliarvolausetta käyttäen, että

limh-->0+ integral 
  1

 0f(x)g(x) dx = f(0).


12.3 Epäoleelliset integraalit

Tehtävä 532
Laske arvo tai osoita hajaantuminen seuraaville integraaleille:

a)  integral 
 oo 

- oo dx----
x2+px+ q  (p2 < 4q),     b)  integral 
    oo 

  0------dx-------
(x + 1)(x2 + 1),      c)  integral 
   oo 

 0--dx---
x3 + 1,
d)  integral  oo 

0dx-
(x2+1)2,      e)  integral   oo 

 1     V~ --
1-+---x-
 x2 + x dx,      f)  integral   oo 

 0---dx---
 V~  ex + 1,
g)  integral  oo 

0e-ax cos bx dx  (a > 0),      h)  integral   oo 

  0e-ax sin bx dx  (a > 0),     
i)  integral 1

0x5
23/2
(1-x) dx,      j)  integral  6

 0    2x
--2-----2/3
(x  - 4) dx,      k)  integral  6

  0  2x
-2-----
x -  4 dx,
l)  integral 
a

0x2
 V~ 2
ax-x dx  (a/=0),      m)  integral 
  p/2

 0 tan x dx,      n)  integral 
   1

  0 ln x dx.

Vastaus


Tehtävä 533
Johda palautuskaava integraalille

In =  integral 
   oo 

 0xne-x dx,     n = 0, 1, 2, . . . ,

ja laske integraali sen avulla.

Vastaus


Tehtävä 534
Määritä a ja b siten, että integraali

 integral   oo 

 1[                 ]
  2x2 + bx + a
  -------------- 1
   x(2x + a) dx

suppenee ja on arvoltaan = 1.

Vastaus


Tehtävä 535
Tutki, millä arvoilla k  (- R seuraavat integraalit suppenevat:

a)  integral  1

 01 + x + x2
------k----
    x dx,     b)  integral   oo 

 0  dx
--2-----
kx  + 1,     c)  integral  p/2

  0 sin kx dx.

Vastaus


Tehtävä 536
Millä arvoilla k  (- R integraali

 integral  1

 0xk- 1 + x- k
-----------
   1 + x dx

a) ei ole epäoleellinen, b) on epäoleellinen ja suppenee?

Vastaus


Tehtävä 537
Laske seuraavan epäoleellisen integraalin arvo tai osoita sen hajaantuminen:

 integral 
  p

 0 dx
cos2x-.


Tehtävä 538
Laske

 integral  p/2

  0       dx
-2---2-----2---2---
a sin x + b cos  x    (ab/=0).

Vastaus


Tehtävä 539
Sievennä funktion

f(x) =  integral 
  p

 0      xsint
 V~ --------------2-
 1 + 2x cost + x dt

lauseke ja piirrä kuvaaja.

Vastaus


Tehtävä 540
Osoita, että on olemassa vakio M > 0 siten, että kaikilla e  (-  ]0, 1[ pätee

 integral  1-e

 0   ex
 V~ 3------
  1 - x2 dx < M.


Tehtävä 541
Todista:

 integral   oo 

  af suppenee ===> limb--> oo  integral   oo 

 bf = 0.


Tehtävä 542
Todista:

a)  integral  b

  a|f| suppenee ===>  integral  b

  af suppenee,
b)  integral   oo 

  - oo |f| suppenee ===>  integral   oo 

 - oo f suppenee.


Tehtävä 543
Olkoon funktio f jatkuva, kun x > 1, ja

limx--> oo f(x)-
lnx = -2.

Osoita, että integraali  integral   oo 
  1ef(x) dx suppenee.


Tehtävä 544
Arvoilla x > 0 määritellään gammafunktio integraalilla

G(x) =  integral   oo 

 0tx-1e-t dt.

Päättele, että integraali suppenee, jos x > 0. Suppeneeko integraali, jos x < 0?

Vastaus


Tehtävä 545
Piirrä gammafunktion kuvaaja jonkin tietokoneohjelman avulla. Tarkastele erikseen positiivisia ja negatiivisia muuttujan arvoja. Tiedätkö, miten gammafunktio on määritelty negatiivisilla muuttujan arvoilla?


Tehtävä 546
Laske käyrän y = xe-x2/2 ja sen asymptootin väliin jäävän rajoittamattoman tasokuvion ala.

Vastaus


Tehtävä 547
xz-tason käyrä z = exp(-x2) pyörähtää z-akselin ympäri, jolloin syntyy xy-tason yläpuolella sijaitseva (ääreetömyyteen joka suunnassa ulottuva) pinta. Laske tämän pinnan ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus, mikäli se on äärellinen.


Tehtävä 548
Osoita, että avaruuskäyrän r(t) = e-t(cos t i + sin t j + k), 0 < t <  oo , pituus on äärellinen ja määritä se.

Vastaus


Tehtävä 549
Käyrä y = e-x, 0 < x <  oo , pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän (äärettömyyteen ulottuvan) pyörähdyspinnan ala.

Vastaus


Tehtävä 550
Käyrä y = 1/x, 1 < x <  oo , pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy äärettömyyteen ulottuva suppilomainen astia. Laske tämän tilavuus. Astian halkaisijataso on levy {(x, y) | |y| < 1/x,  x > 1}. Mikä on tämän pinta-ala? Jos astia täytetään maalilla, tuleeko halkaisijataso kokonaisuudessaan peitetyksi maalilla?


Tehtävä 551
Määritä kaarenpituus napakoordinaattikäyrälle r = e-f, f  (- [0,  oo [. Laske käyrän kaarevuus parametrin f funktiona. Mikä on kaarevuussäteen raja-arvo, kun f -->  oo ? Piirrä käyrä.


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo