Seuraava lukuSisällysluettelo

1 Lukujonot ja vakiotermiset sarjat

1.1 Lukujono

Tehtävä 1
Todista, että lukujono <ak > suppenee ja sen raja-arvo on < 2, kun jono määritellään rekursiivisesti

a0 = 0,     ak+1 =  V~ --------
       V~ ---
  2 +   ak,   k = 0, 1, 2, . . . .

Esitä yhtälö, josta raja-arvo voidaan ratkaista.

Vastaus


Tehtävä 2
Lukujono <a >
  k määritellään rekursiivisesti

a1 = 1,     ak+1 = --ak---
1 + ak,   k = 1, 2, 3, . . . .

Määritä limk ak.

Vastaus


Tehtävä 3
Olkoon

fk(x) =   xk
-----2k
1 + x,   x  (- R,  k  (- N.

Määritä limk--> oo fk(x) kaikilla x  (- R. Piirrä funktioiden fk kuvaajia. Millainen on raja-arvofunktion kuvaaja?

Vastaus


Tehtävä 4
Tutki, suppenevatko seuraavat kompleksiset lukujonot <z >
  k:

a) zk = ik
--
k,   b) zk =  kik
------
k + 1,   c) zk = (1 + i)k
--------
   k.

Vastaus


Tehtävä 5
Tutki, suppenevatko seuraavat kompleksitason lukujonot <z >
  k:

a) zk = ik
k V~ ---
  k,   b) zk = p
--
2 + eikp/4
------
  kp,   c) zk = (1 + i)k
----2---
  k.

Onko jonoilla kasautumispisteitä? Piirrä jonojen pisteitä kompleksitasoon.

Vastaus


Tehtävä 6
Olkoon sk yksikköympyrän sisään piirretyn säännöllisen 2k-kulmion sivun pituus. Johda rekursiokaava, jossa sk+1 lausutaan edellisen luvun sk avulla. Mikä on sopiva alkuarvo täten saatavalle rekursiivisesti määritellylle jonolle?

Vastaus


Tehtävä 7
Muodosta edellisen tehtävän jonon avulla lukujono <p >
  k, missä jonon luvut esittävät yksikköympyrän sisään piirretyn 2k-kulmion piiriä. Laske tämän jonon termejä ja yritä saada näiden avulla niin tarkka approksimaatio luvulle p kuin mahdollista. Kuinka monta oikeata desimaalia saadaan?

Vastaus


Tehtävä 8
Lukujono muodostetaan rekursiokaavalla xn+1 = 1 - ax2
n, missä x0 = 0. Parametrille a pätee 0 < a < 2. Tutki kokeellisesti, miten jono käyttäytyy suurilla indeksin n arvoilla: laske 100 – 200 jonon lukua ja tulosta sen jälkeen näkyviin 10 – 20 seuraavaa lukua. Tarkastele erityisesti parametriarvoja a = 0.5,  0.8,  1,  1.3,  1.39,  1.6.

Vastaus


Tehtävä 9
Onko edellisen tehtävän jonolla raja-arvoa? Lausu raja-arvo parametrin a funktiona ja piirrä funktion kuvaaja. Mitä mahdetaan tarkoittaa käsitteillä yläraja-arvo ja alaraja-arvo (lim sup, lim inf, limes superior, limes inferior)? Entä lukujonon kasautumispisteellä?

Vastaus


1.2 Vakioterminen sarja

Tehtävä 10
Laske sarjan

 sum  oo 


k=1-------1--------
(2k - 1)(2k + 1)

osasummia pienillä indeksin arvoilla ja arvaa näiden perusteella osasumman sn lauseke. Todista arvauksesi. Osoita, että sarja suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus


Tehtävä 11
Laske sarjan

 sum  oo 

k=1       1
----------------
(3k - 2)(3k + 1)

osasummia pienillä indeksin arvoilla ja arvaa näiden perusteella osasumman sn lauseke. Todista arvauksesi. Osoita, että sarja suppenee ja määritä sen summa.

Vastaus


Tehtävä 12
Laske sarjan  sum oo  
   k=11/k2 osasummia, ja tutki, miten lähelle sarjan summaa päästään. Tarkka arvo on p2/6. Tutki samalla tavoin sarjaa

 oo  sum 

k=0----1----
(2k + 1)4,

jonka summa on p4/96.

Vastaus


Tehtävä 13
Todista, että suppenevan sarjan  sum o o 
  k=1ak termien joukko { ak | k  (- N } on rajoitettu.

Vastaus


Tehtävä 14
a) Olkoon  sum oo  
   k=1ak suppeneva sarja. Todista, että jokaisella p  (- N myös sarja  sum  oo 
k=pak suppenee. b) Olkoon  sum o o 
  k=1ak hajaantuva sarja. Todista, että jokaisella p  (- N myös sarja  sum  oo 
k=pak hajaantuu.

Vastaus


Tehtävä 15
a) Todista, että jos  sum o o 
  k=1ak suppenee ja  sum oo  
   k=1bk hajaantuu, niin  sum  oo 
k=1(ak + bk ) hajaantuu. b) Näytä esimerkillä, että jos  sum o o 
  k=1ak ja  sum o o 
  k=1bk hajaantuvat, niin  sum  oo 
k=1(ak + bk) voi olla suppeneva sarja.

Vastaus


Tehtävä 16
Olkoon  sum oo  
   k=1ak suppeneva sarja ja sen summa = s. Osoita, että sarja  sum  oo 
k=1(ak + ak+2) suppenee, ja määritä sen summa.

Vastaus


Tehtävä 17
Osoita oikeaksi tai vääräksi seuraavat väitteet: a) Jos  sum o o 
  k=1ak suppenee, niin myös  sum  oo 
k=1(ak + a2
k) suppenee. b) Jos  sum o o 
  k=1a2
k suppenee, niin myös  sum oo  
   k=1(ak + a2
k) suppenee.

Vastaus


Tehtävä 18
Todista: Jos sarja  sum |ak| suppenee, niin myös sarja  sum ak suppenee. Päteekö käänteinen lause?

Vastaus


Tehtävä 19
Olkoot <a >
  k ja <b >
  k kaksi lukujonoa, joille pätee ak = bk+1 - bk, k = 1, 2, 3, . . . . Osoita, että sarja  sum ak suppenee, jos ja vain jos jono <bk> suppenee.

Vastaus


Seuraava lukuSisällysluettelo