Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

6 Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot

6.1 Käänteisfunktion olemassaolo

Tehtävä 165
Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R2 --> R2,

f(x, y) = (y sin x,  x + y + 1)

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva.


Tehtävä 166
Tutki, minkä pisteiden ympäristössä kuvauksella f : R2 --> R2, f(x, y) = (x3 + xy,  x2/10 + y), on lokaali käänteiskuvaus. Tarkastele aluetta { (x, y) | -1.5 < x < 1.5,  -1 < y < 1 } ja muodosta siihen piirretyn neliöruudukon kuva. Laske funktion f Jacobi’n determinantti. Missä pisteissä tämä on = 0? Miten nämä pisteet kuvautuvat?


Tehtävä 167
Funktio f : R2 --> R2 määritellään asettamalla f(x, y) = ((x + y)3 + ax + ay,  x - y). Tutki lokaalin käänteisfunktion olemassaoloa tapauksissa a) a = 3, b) a = -3. Selosta, miten funktio kuvaa xy-tason. Piirrä kuvia.

Vastaus


Tehtävä 168
Laske funktion f : R2 --> R2,

f(x, y) = (x3 + y3,  x3 - y3)

funktionaalideterminantti. Onko funktiolla globaalia käänteisfunktiota? Ratkaise (x, y) yhtälöstä (u, v) = f(x, y).

Vastaus


Tehtävä 169
Funktio f : R2 --> R2, f(x1, x2) = (y1, y2), olkoon määritelty yhtälöillä

{
   y =  (x + x  )3,
    1     1    2 3
   y2 = (x1-  x2).

Laske funktion f Jacobi’n matriisi (funktionaalimatriisi) pisteessä (x1, x2). Osoita, että funktiolla f on käänteisfunktio g ja määritä sen lauseke. Onko funktio g kaikkialla differentioituva? Määritä funktion g Jacobi’n matriisi pisteessä (1, 8).


Tehtävä 170
Olkoon f : R2 --> R2,

f(x, y) = (ex cos y,  ex sin y).

Määritä suorakulmion S = { (x, y) | r1 < x < r2,  0 < y < 2p } kuva f(S) ja tutki, onko kuvaus f : S --> f(S) injektio. Määritä suurin injektiivisesti kuvautuva origon ympyräympäristö.


Tehtävä 171
Kuvaus f : R2 --> R2,

f(x, y) = (u, v) = (ex cos y,  ex sin y),

kuvaa pisteen P  = (1, p/6) erään ympäristön pisteen Q = (e V~ --
  3/2, e/2) eräälle ympäristölle bijektiivisesti, jolloin on olemassa lokaali käänteiskuvaus x = g1(u, v),  y = g2(u, v). Laske funktion h(u, v) = g1(u, v)g2(u, v) osittaisderivaatat @h-
@u ja @h-
@v pisteessä Q.

Vastaus


6.2 Implisiittifunktioista

Tehtävä 172
Osoita, että yhtälö x6 + 2y4 - 3x2y = 0 eräässä pisteen (1, 1) ympäristössä määrittelee funktion y = f(x). Määritä funktion kuvaajan tangentin yhtälö kyseisessä pisteessä.


Tehtävä 173
Määritä Cartesiuksen lehden x3 + y3 = 3xy kaarevuussäde niissä pisteissä, missä käyrä leikkaa suoran y = x.


Tehtävä 174
Yhtälö F (cx - az, cy - bz) = 0, missä F on differentioituva funktio sekä a, b ja c vakioita, määritelköön differentioituvan funktion z = f(x, y). Laske afx + bfy.


Tehtävä 175
Osoita, että yhtälö sin(yz) + y2ez = x määrittelee eräässä pisteen (p2, p, 0) ympäristössä funktion z = f(x, y). Arvioi differentiaalia käyttäen tämän funktion arvo pisteessä (p2 + 0.01,  p - 0.03).


Tehtävä 176
Funktiot F : R3 --> R ja G : R2 --> R olkoot jatkuvasti derivoituvia. Oletetaan, että yhtälöllä

F (x, y, G(y, z)) = 0

on ratkaisu z = f(x, y). Lausu fx ja fy funktioiden F ja G osittaisderivaattojen avulla.


Tehtävä 177
Oletetaan, että yhtälö x = f(y, z) määrittelee funktion z = g(x, y) ainakin jossakin tarkastelupisteen (x, y, z) ympäristössä. Lausu derivaatat gx, gy ja gxy funktion f derivaattojen avulla. Oletetaan, että funktio f on riittävän monta kertaa differentioituva.


Tehtävä 178
Osoita, että yhtälö x = z + y sin z eräässä origon ympäristössä määrittelee funktion z = g(x, y). Laske gxy(0, 0).


Tehtävä 179
Osoita, että yhtälö yex + sin(x - y + z) = 0 määrittelee eräässä origon ympäristössä pinnan. Määritä pinnan tangenttitaso origossa.


Tehtävä 180
Osoita, että yhtälöt

x2
---
a2 + y2
---
b2 + z2
---
c2 = 1  ja  (x - a)2
---a-2---
  (2)2 +  y2
--b-
(2)2 = 1

(a,  b,  c > 0) määrittävät käyrän pisteen (a
2,  b
2,  c--
 V~ 2) ympäristössä. Laske tähän pisteeseen asetetun käyrän tangentin ja z-akselin välisen kulman kosini.


Tehtävä 181
Laske funktion f(x, y, z) = xy + cos x + y2z ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja gradientti pisteessä (p/2, 1, -p/2). Mitä gradientti ilmaisee funktiosta f ? Entä pinnasta f(x, y, z) = 0 ? Mitä osittaisderivaattojen avulla voidaan päätellä siitä, määritteleekö yhtälö f(x, y, z) = 0 jossakin em. pisteen ympäristössä funktiot x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y) ?


Tehtävä 182
Osoita implisiittifunktiolauseen avulla, että yhtälöt 2x2 + 3y2 + z2 - 47 = 0 ja x2 + 2y2 - z = 0 määrittävät pisteen (-2, 1, 6) ympäristössä derivoituvat funktiot y = f(x) ja z = g(x). Laske näiden derivaatat pisteessä x = -2.


Tehtävä 183
Tutki, voidaanko yhtälöistä

x + y - z = 1  ja  x2 + y2 - 2z = 0

ratkaista funktiot y = f(x) ja z = g(x) sopivassa pisteen (1, 1, 1) ympäristössä. Mikä on probleeman geometrinen sisältö?

Vastaus


Tehtävä 184
Tutki sopivaa Jacobi’n determinanttia käyttäen, voidaanko yhtälöistä

x + y + z = 1  ja  x2 + y2 + z2 = 1

ratkaista funktiot y = f(x) ja z = g(x) sopivassa pisteen (1
2,  1
4(1 +  V~ --
  5),  1
4(1 -  V~ --
  5)) ympäristössä. Mikä on probleeman geometrinen sisältö?


Tehtävä 185
Osoita, että yhtälöt

y5 + xy + z2 = 4  ja  exz = y2

määrittävät jossakin pisteen (3, 1, 0) ympäristössä funktiot x = f(z) ja y = g(z). Laske f' (0) ja g' (0).

Vastaus


Tehtävä 186
Olkoon f differentioituva funktio R2 --> R ja olkoon (a, b, c) piste, joka toteuttaa yhtälöt

{
  f(f (x,y),z) = 0,
  f(x, f(y,z)) = 0.

Millä funktion f osittaisderivaattoja koskevalla ehdolla yhtälöt implisiittifunktiolauseen mukaan määrittävät pisteen (a, b, c) ympäristössä funktiot x = u(z) ja y = v(z)? Merkitse osittaisderivaattoja f1 ja f2 sekä merkitse myös niiden argumentit näkyviin.


Tehtävä 187
Piste (x1, . . . , xn, y1, . . . , yp) toteuttakoon yhtälöryhmän

  f1(x1, ...,xn,y1,...,yp) = 0,
{
     ...

  fp(x1, ...,xn,y1,...,yp) = 0.

Selosta, millä ehdolla ko. pisteen ympäristössä yhtälöistä voidaan periaatteessa ratkaista riippuvuus

{ y1 = g1(x1,...,xn),
     ..
     .
  yp = gp(x1,...,xn).

Sovella teoriaa yhtälöihin x2 + y2
1 - 2y2 = 0, x + y1 - y2 - 1 = 0 pisteen (1, 1, 1) ympäristössä.


Tehtävä 188
Oletetaan, että yhtälö F (x, y, z) = 0 määrittää tarkastelupisteen (x0, y0, z0) eräässä ympäristössä funktiot x = x(y, z), y = y(z, x) ja z = z(x, y). Todista termodynamiikassa tarvittava yhtälö

@x-
@y@y-
@z@z-
@x = -1.


Tehtävä 189
Totea edellisen tehtävän yhtälön

@x-
@y@y-
@z@z-
@x = -1

voimassaolo tapauksessa F (x, y, z) = x3y2z - 1, ts. muodosta funktiot x, y, z, laske näistä tarvittavat osittaisderivaatat ja niiden tulo.


6.3 Sidotut ääriarvot

Tehtävä 190
Etsi pisteen (a, 0) lyhin etäisyys paraabelista y2 = 4x käyttämällä Lagrangen kertoimia.


Tehtävä 191
Etsi origon lyhin etäisyys hyperbelistä x2 + 8xy + 7y2 = 45 käyttäen Lagrangen kertoimia.

Vastaus


Tehtävä 192
Määritä origon suurin ja pienin etäisyys käyrästä

x4
-4-
a + y4
--4
 b = 1.


Tehtävä 193
Määritä se ellipsin

x2
--2
a + y2
-2-
b = 1

ensimmäisessä neljänneksessä oleva piste, johon asetettu tangentti muodostaa koordinaattiakseleiden kanssa mahdollisimman pienialaisen kolmion.


Tehtävä 194
Olkoot a, b ja g kolmion kulmat. Etsi suurin arvo lausekkeelle sina
2sinb
2 sin g
2.


Tehtävä 195
Puolisuunnikkaan sivut b ja d ovat yhdensuuntaiset, sivut a ja c yhtä pitkät; puolisuunnikkaan ala on annettu. Määritä suhde a : b : c : d siten, että summa a + b + c on mahdollisimman pieni.


Tehtävä 196
Pisteen P  = (a, b, c) kaikki koordinaatit ovat positiivisia. Määritä pisteen kautta kulkevan tason ja kaikkien koordinaattitasojen rajoittaman tetraedrin pienin mahdollinen tilavuus.


Tehtävä 197
Suuntaissärmiön särmien pituuksien summa olkoon 12a. Määritä särmiön suurin mahdollinen tilavuus.


Tehtävä 198
Halutaan rakentaa suorakulmaisen särmiön muotoinen laatikko, jonka tilavuus a3 on annettu. Laatikon pohja ja sivuseinät ovat puuta ja kansi lasia. Kuinka särmien pituudet on valittava, jotta hinta olisi mahdollisimman alhainen, kun lasi on kaksi kertaa niin kallista kuin puu?


Tehtävä 199
Määritä funktion f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 suurin ja pienin arvo tason x + y + z = 3 ja pallon x2 + y2 + z2 = 27 leikkausympyrällä.

Vastaus


Tehtävä 200
Määritä Lagrangen kertojaa käyttäen funktion f(x1, . . . , xn) = (x1. . . xn)2 suurin arvo yksikköpallolla x2
1 + . . . x2
n = 1. Päättele tuloksesta aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö  V~ --------
n a1...an < 1
n(a1 + . . . + an), missä ak > 0.

Vastaus


Tehtävä 201
Etsi lausekkeen  sum n
  k=1xp
k ääriarvot, kun side-ehtona on  sum n
  k=1xk = a.


Tehtävä 202
Määritä funktion f(x, y) = x2 + y2 suurin ja pienin arvo käyrällä x3 + y3 = 3xy.


Tehtävä 203
Määritä funktion f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 suurin ja pienin arvo pallon x2 + y2 + z2 + 4x + 4y = 10 ja lieriön x2 + y2 + 2x + 2y = 6 leikkauskäyrällä.


Tehtävä 204
Määritä funktion f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 suurin ja pienin arvo pallon x2 + y2 + z2 + 4x + 4y = 10 ja lieriön x2 + y2 + 2x + 2y = 6 leikkauskäyrällä.


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo