Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

7 Taso- ja avaruusintegraali

7.1 Tasointegraalin määrittely

Tehtävä 205
Tarkastellaan funktiota f(x, y) = x + y neliössä { (x, y) | 0 < x < 1,  0 < y < 1 }. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0 < a < 1,  0 < b < 1. Muodosta tähän jakoon p liittyvä alasumma Sp ja yläsumma --
Sp . Määritä suppSp ja infp-
Sptällaisille jaoille. Seuraako lukujen erisuuruudesta, että funktio ei ole integroituva ko. neliössä?


Tehtävä 206
Olkoot T1 ja T2 kaksi perussuorakulmiota, joille pätee A < T1, A < T2. Osoita, että jos funktion f nollajatko f0
A on integroituva yli joukon T1, niin se on integroituva myös joukon T2 yli ja integraalit ovat yhtä suuret:

 integral 

 T1f0A =  integral 

  T2f0A.


7.2 Tasointegraalin perusominaisuudet

Tehtävä 207
Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus

 integral 


 Acf = c integral 


 Af,

missä c on vakio.


Tehtävä 208
Todista funktioiden nollajatkoille: (f + g)0
A = f0
A + g0
A.


Tehtävä 209
Olkoon joukko A jaettu kahteen osaan A = A1  U A2, missä A1  /~\ A2 = Ø. Osoita: f0A = f0A1 + f0A2.


Tehtävä 210
Osoita vastaesimerkillä, että tasointegraalin väliarvolauseen oletusta integrointijoukon A yhtenäisyydestä ei voida jättää pois.


7.3 Tasointegraalin laskeminen

Tehtävä 211
Funktio f(x, y) olkoon jatkuva joukossa { (x, y) | a1 < x < a2,  b1(x) < y < b2(x) }, missä funktiot b1(x) ja b2(x) ovat jatkuvia välillä [a1, a2]. Todista, että funktio

g(x) =  integral  b2(x)

 b1(x)f(x, y) dy

on jatkuva välillä [a1, a2].


Tehtävä 212
Laske

fxy(x, y) dxdy,

kun A on suorakulmio [a, b] × [c, d].


Tehtävä 213
Laske seuraavat integraalit:

a)  integral 


  Ax2 da,   A = { (x, y) | |x| + |y| < 1 };
b)  integral 

  Ax-
y da,   A = { (x, y) | |x| < 1,  1 < y < 2 }.

Vastaus


Tehtävä 214
Laske  integral 
 Axy da, kun A on a) kolmio, jonka kärjet ovat (0, 0), (1, 1), (1, 2); b) kuvio, jonka määrittelevät ehdot x  (- [0, 1], 0 < y <  V~ --
  x; c) segmentti, jota rajoittavat suora y = 2(x - p) ja paraabeli y2 = 2px.


Tehtävä 215
Etsi funktion f : R2 --> R,

f(x, y) =  integral  1

 0 integral  1

 0(10 - xu - yv2)2 dudv,

suhteelliset ääriarvot. Ovatko nämä maksimeja vai minimejä?


Tehtävä 216
Laske integraali

 integral 


  A----y----
1 +  V~ 2x dxdy,   A = { (x, y) | 0 < x < y <  V~ -----2-
  1-  x }.

Vastaus


7.4 Avaruusintegraali

Tehtävä 217
Olkoon V = { (x, y, z) | x > 0,  y > 0,  z > 0,  x + y + z < 1 }. Laske a)  integral 
V(1 - x - y)5 dv, b)  integral 
 Vxyz4 dv.

Vastaus


Tehtävä 218
Tutki, millä muuttujan t arvoilla funktio

f(t) =  integral  2

 x=0 integral  2

  y=0i ntegral  t

  z=2xy(z - 1) ln(1 + z4) dxdydz

saa pienimmän arvonsa.


7.5 Muuntaminen sijoituksella

Tehtävä 219
Laske integraali

(x + 2y)4(x - 2y)6 dxdy,

kun integroimisjoukkona on tasoalue A = { (x, y) | |x + 2y| < 1,  |x - 2y| < 2 }.

Vastaus


Tehtävä 220
Laske sopivan muuttujanvaihdon avulla integraali

(2x + 3y)2(x - 5y)2 dxdy,   missä A = { (x, y) | |2x + 3y| < 4,  |x - 5y| < 3 }.

Vastaus


Tehtävä 221
Laske käyrien y3 = ax2, y3 = bx2, x4 = cy3, x4 = dy3 (0 < a < b, 0 < c < d) ensimmäisessä neljänneksessä rajoittaman alueen pinta-ala. Valitse uusiksi muuttujiksi u ja v, jotka määräytyvät yhtälöistä y3 = ux2, x4 = vy3.


Tehtävä 222
Laske muotoa x = as cos t, y = bs sin t (a ja b vakioita) olevaa muunnosta käyttäen tasointegraali

 integral 


Aln(           )
     x2-  y2-
 1 + 4  +  9 da,   A = { (x, y) | x > 0,  y > 0,  9x2 + 4y2 < 36 }.


Tehtävä 223
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat xy-tason yläpuolella pinnat

a) x2 + y2 = a2,  x2 + y2 = az,  z = 0  (a > 0);
b) z = x2 - y2,  x2 + y2 = 1,  z = 0.


Tehtävä 224
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat paraboliset lieriöt z2 = y, z2 = 2y, x2 = z, x2 = 2z, y2 = x, y2 = 2x. Siirry aluksi yhtälöiden x = uy2, y = vz2, z = wx2 määräämiin uusiin muuttujiin u, v, w.


Tehtävä 225
Laske  integral 

 Vx2y dv, kun V = { (x, y, z) | z2 < x2 + y2 < 1 }.


Tehtävä 226
Laske  integral 
 Vxyz dv, kun V on pallon oktantti

{ (x, y, z) | x2 + y2 + z2 < 1,  x > 0,  y > 0,  z > 0 }.


Tehtävä 227
Muunna integraali

f(x, y, z) dxdydz

pallokoordinaatteihin, kun funktio f oletetaan integroituvaksi ja integroimisjoukko A on R-säteinen origokeskinen pallo. Laske sovellutuksena R-säteisen pallon tilavuus.


Tehtävä 228
Laske sekä pallon x2 + y2 + z2 = R2 että kartion  V~ --
  3z =  V~ --------
  x2 + y2 sisään jäävän avaruuden osan tilavuus avaruusintegraalina siirtymällä a) lieriö-, b) pallokoordinaatistoon.


Tehtävä 229
Pisteen P0 = r0 keskietäisyys kappaleen B pisteistä on integraali

--1--
v(B) integral 


  B|r - r0| dv.

Laske pisteen (0, 0, c) keskietäisyys pallon r < R pisteistä, kun c > R.


Tehtävä 230
Laske pallokoordinaateissa integraali

f(t) =  integral 

 B V~ -------dv---------
  r2-  2trcos h + t2,   t > 0,

missä B on origokeskinen R-säteinen pallo. Piirrä funktion f kuvaaja.


Tehtävä 231
Laske tasa-arvokäyrien avulla integraali

 integral 


  A sin(x2 + y2) dxdy,   A = { (x, y) | 1 < x2 + y2 < 4 }.


Tehtävä 232
Anna differentiaaligeometrinen perustelu a) lieriökoordinaatiston tilavuusalkiolle dv = r drdfdz, b) pallokoordinaatiston tilavuusalkiolle dv = r2 sin h drdfdh.


7.6 Integraali avaruudessa Rn

Tehtävä 233
Olkoon Bn(r) avaruuden Rn r-säteinen pallo:

Bn(r) = { x  (- Rn | ||x|| < r }.

Olkoon m(Bn (r)) tämän mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus, etc.). Johda yksikköpallojen Bn (1) = Bn mitoille seuraava rekursio:

m(B1) = 2,   m(B2) = p,   m(Bn) = 2p-
 nm(Bn-2),  n = 3, 4, . . . .


Tehtävä 234
Tutki, minkä ulotteisen avaruuden yksikköpallo on mitaltaan suurin. Millainen tilanne on r-säteisen pallon tapauksessa?

Vastaus


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo