Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

12 Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12.1 Gradientti, divergenssi ja roottori

Tehtävä 328
Laske  \~/  . u, kun u on vektorikenttä

a) (z - y)i + (x - z)j + (y - x)k,
b) exyz(i + x ln y j + x2z k),
c) (x3z - 2xyz)i + (xy - 3x2yz)j + (yz2 - xz)k.

Vastaus


Tehtävä 329
Laske  \~/ × u, kun u on vektorikenttä

a) 2xyz i + x2z j + x2y k,
b) exyz(i + x ln y j + x2z k),
c) (x2 + y2 + z2)(xi + yj + zk).

Vastaus


Tehtävä 330
Laske vektorikentän

u(r) = (yx2 + z)i + (zy2 + x)j + (xz2 + y)k

divergenssi ja roottori. Mikä on divergenssin arvo niissä pisteissä, missä roottori on = o?

Vastaus


Tehtävä 331
Piirrä kuva vektorikentän u(x, y, z) = z2(x i + y j) + k ja xz-tason leikkauksesta. Millaisia symmetriaominaisuuksia kentällä on?


Tehtävä 332
Laske vektorikentän u(x, y, z) = z2(x i + y j) + k vuo kuution |x| < 1
2,  |y| < 1
2,  |z| < 1
2 pinnan läpi. Laske myös kentän divergenssi ja roottori.

Vastaus


Tehtävä 333
Piirrä samaan kuvaan funktion

u(x, y) = xe-x2-y2

tasa-arvokäyrät ja tämän gradientin  \~/ u(x, y) kenttävektorit. Miten tasa-arvokäyrät ja kenttävektorit suhtautuvat toisiinsa?


Tehtävä 334
Vektorikenttä u on riippumaton z-koordinaatista ja sen z-komponentti on = 0. xy-tasossa olevat kenttävektorit ovat origokeskisten ympyröiden (positiiviseen kiertosuuntaan osoittavia) tangenttivektoreita, joiden pituus riippuu ympyrän säteestä. Määritä kenttä, kun tiedetään, että  \~/ × u = o. Piirrä kuva kentästä.


12.2 Laskusääntöjä

Tehtävä 335
Osoita: a)  \~/  . r0 = 2-
r, b)  \~/ × r0 = o.


Tehtävä 336
Sievennä  \~/  . (rpr). Millä luvun p arvoilla tulos on vakio?

Vastaus


Tehtävä 337
Sievennä r .  \~/ [ \~/  . (rpr)].

Vastaus


Tehtävä 338
Olkoon u(r) vektorikenttä. Saata yksinkertaisimpaan muotoonsa a) (u ×  \~/ ) .   r, b) (u ×  \~/ ) × r.

Vastaus


Tehtävä 339
Olkoon e vakioyksikkövektori ja u(r) vektorikenttä. Osoita:

e . [ \~/ (e . u) +  \~/ × (e × u)] =  \~/  . u.


Tehtävä 340
Olkoot

f(r) = a . r  ja  g(r) = a .r-
b .r

geometrisen avaruuden E3 skalaarikenttiä. Laske  \~/ f ja  \~/ g. Vektorit a ja b ovat vakioita.


Tehtävä 341
Olkoot a ja b vakiovektoreita. Laske skalaarikolmitulon [a, b, r] gradientti.

Vastaus


Tehtävä 342
Olkoot a ja b vakiovektoreita. Osoita:

 \~/ [(r × a) . (r × b)] = b × (r × a) + a × (r × b).


Tehtävä 343
Olkoon c vakiovektori. Osoita vektoreita komponenteittain kirjoittamatta, että

 \~/ r-.c
 r3 =  \~/ × r-×-c
  r3.


Tehtävä 344
Olkoon c vakiovektori. Sievennä  \~/ × (r2c × r).

Vastaus


Tehtävä 345
Olkoon c vakiovektori ja h : R --> R derivoituva funktio. Määritä skalaarikenttien F ja G lausekkeet kehitelmässä

 \~/ × (r × h(r)c) = F (r)r - G(r)c.

Vastaus


Tehtävä 346
Lausu funktion F derivaattojen ja paikkavektorin pituuden r avulla r .    \~/ ( \~/ 2 F (r)).

Vastaus


Tehtävä 347
Tutki, millä vakion p arvolla yhtälön

 \~/ 2[r2F (r)] = r2 \~/ 2F (r) + p r .  \~/ F (r)

ainoa ratkaisu on identtisesti häviävä funktio F (r) = 0.

Vastaus


Tehtävä 348
Olkoon F (r) avaruuden E3 skalaarikenttä, joka toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

 \~/ 2[(r .  \~/ r)F (r)] = 0.

Muodosta funktiota F koskeva tavallinen differentiaaliyhtälö ja tutki, millainen skalaarikenttä F (r) voi olla.

Vastaus


Tehtävä 349
Ratkaise Laplacen differentiaaliyhtälö  \~/ 2u = 0 kolmiulotteisessa avaruudessa, kun tiedetään, että u on pallosymmetrinen, ts. u(x, y, z) = F (r). Mikä on yhtälön ratkaisu kaksiulotteisessa tasossa, kun u(x, y) = F (r)?

Vastaus


12.3 Käyräviivaiset koordinaatistot

Tehtävä 350
Yhtälöt

{ x =  uvcos w,
  y =  uvsin w,
       1  2    2
  z =  2(u -  v )

määrittävät käyräviivaiset koordinaatit u, v, w, ns. parabolisen koordinaatiston. Määritä koordinaatiston yksikkövektorit. Ovatko ne ortogonaalisia? Millaisia ovat koordinaattipinnat? Laske suure H.


Tehtävä 351
Pisteen suorakulmaiset koordinaatit ovat (3, 3 V~ --
  3, -5/2). Laske pisteen paraboliset koordinaatit ja lausu siihen liittyvät paraboliset yksikkövektorit {i, j, k}-kannassa.

Vastaus


Tehtävä 352
Lausu Laplacen operaattori D =  \~/ 2 parabolisten koordinaatten avulla.


Tehtävä 353
Bipolaariset tasokoordinaatit u,  v määritellään yhtälöillä

x =     sinh v
--------------
cosh v-  cosu,   y =     sinu
--------------
coshv - cos u.

Tutki, minkälaiset ovat koordinaattikäyrät ja annettuun pisteeseen liittyvät bipolaariset yksikkövektorit. Ovatko koordinaatit suorakulmaisia?

Vastaus


12.4 Lieriö- ja pallokoordinaatisto

Tehtävä 354
Osoita, että lieriökoordinaateille pätee

a)  \~/ r = er,     b)  \~/ f = 1
--
ref,     c)  \~/ z = ez.


Tehtävä 355
Osoita, että pallokoordinaateille pätee

a)  \~/ r = er,     b)  \~/ h = 1
--
reh,     c)  \~/ f =   1
------
rsinhef.


Tehtävä 356
Totea oikeaksi seuraavat lieriökoordinaatteja koskevat kaavat:

a)  \~/ f +  \~/ × (ln r \~/ z) = o,     b)  \~/ ln r -  \~/ × (f  \~/ z) = o.


Tehtävä 357
Totea oikeaksi seuraavat pallokoordinaatteja koskevat kaavat:

a)  \~/ × (cos h  \~/ f) =  \~/ 1-
r,     b)  \~/ × r  \~/ h-
sin h =  \~/ f.


Tehtävä 358
Osoita, että lieriökoordinaattien yksikkövektoreiden osittaisderivaatat itse koordinaattien suhteen ovat = o paitsi

@er
----
@f = ef,     @ef
----
@f = -er.


Tehtävä 359
Laske pallokoordinaattien yksikkövektoreiden osittaisderivaatat itse koordinaattien suhteen ja esitä tulokset yksikkövektoreiden muodostamassa kannassa.


Tehtävä 360
z-akselin ympäri kiertävän kentän vektorit ovat lieriökoordinaattien yksikkövektoreiden ef suuntaiset ja niiden itseisarvo on suoraan verrannollinen z-akselista lasketun etäisyyden neliöön. Laske kentän divergenssi ja roottori. Mitä nämä kertovat kentästä?

Vastaus


Tehtävä 361
Virtauskentän kenttävektorit muodostuvat pallokoordinaattien yksikkövektoreista eh. Laske kentän divergenssi ja roottori. Kuvaile, millaisesta virtauksesta on kysymys. Missä sijaitsevat virtauksen lähteet?

Vastaus


Tehtävä 362
Laske pallokoordinaateissa  \~/ r,  \~/ h ja  \~/ f. Tulkitse saamasi tulos: Minkä suuntaisia gradienttivektorit ovat? Osoita, että  \~/ × (cos h  \~/ f) =  \~/ 1
--
r.


Tehtävä 363
Osoita, että kaavat

  x1 = r sin h1sinh2 cosf,
{ x  = r sin h sinh  sin f,
   2         1    2
  x3 = r sin h1cosh2,
  x4 = r cosh1,

missä r > 0, 0 < h1 < p, 0 < h2 < p, 0 < f < 2p määrittelevät neliulotteiset pallokoordinaatit. Miten on määriteltävä n-ulotteiset pallokoordinaatit?


Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo