Vektoriavaruus

Määritelmä. Kolmikko (V, +, ^. ) on vektoriavaruus, jos V on epätyhjä joukko, jossa on määritelty alkioiden summa X + Y (+ on funktio V ×V V ) ja skalaarimonikerta aX ( ^.  on funktio × V V,  ^.  jätetään usein merkitsemättä) ja lisäksi nämä operaatiot toteuttavat seuraavat ehdot:

     V1.   X + Y = Y + X kaikilla X,Y V (kommutatiivisuus eli vaihdantalaki),
     V2.   (X + Y ) + Z = X + (Y + Z) kaikilla X,Y,Z V (assosiatiivisuus eli liitäntälaki),
     V3.   on olemassa sellainen V , että X + = X kaikilla X V (nolla-alkio),
     V4.   kaikilla X V on olemassa sellainen -X V, että X + (-X) = (vasta-alkio),
     V5.   a(X + Y ) = aX + aY kaikilla a ja X,Y V,
     V6.   (a + b)X = aX + bX kaikilla a,b ja X V,
     V7.   a(bX) = (ab)X kaikilla a,b ja X V,
     V8.   1X = X kaikilla X V (tässä luku 1 on reaaliluku yksi).

Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi. Samoin puhutaan myös nollavektorista ja alkion X vastavektorista -X.

Vektoriavaruudesta (V, +, ^. ) voidaan lyhyesti puhua vain vektoriavaruutena V, jos vektoriavaruuden operaatiot ovat selviä asiayhteydestä.

Lause. Vektoriavaruuden nollavektori ja alkion X vastavektori -X ovat yksikäsitteisiä.

Todistus. Tehdään vastaoletus, että vektoriavaruudella (V, +, ^. ) on kaksi nollavektoria ja '. Tarkastellaan nollavektoreiden summaa + '. Postulaatin V3 mukaan nollavektorin lisääminen ei muuta vektoria, joten + ' = . Samasta syystä ' + = '. Toisaalta ensimmäisen postulaatin mukaan + ' = ' + , joten = '.

Oletaan, että vektorilla X on vastavektorit -X ja X'. Lisäämällä yhtälön X + X' = molemmille puolille -X saadaan vasemmasta puolesta käyttämällä postulaatteja V2, V4, V1 ja V3,

ja oikeasta puolesta postulaatin V3 nojalla -X + = -X. Täten X' = -X.

Linkit:
Esimerkkejä vektoriavaruuksista
Vektoriavaruuden ominaisuuksia