Ryhmien homomorfia

Määritelmä. Olkoot (G,*) ja (G',•) ryhmiä. Kuvausta f : (G,*) (G',•) sanotaan (ryhmä)homomorfismiksi, jos se toteuttaa ehdon

Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio ja e' ryhmän (G,•) neutraalialkio. Ryhmähomomorfismi kuvaa neutraalialkion neutraalialkioksi ja käänteisalkiot käänteisalkioiksi. Siis, jos f on homomorfismi ja a G, niin

Ensimmäinen yhtälöistä nähdään oikeaksi operoimalla yhtälöä f(e) • f(e) = f(e * e) molemmin puolin käänteisalkiolla f(e)^-1. Jälkimmäinen seuraa puolestaan siitä, että f(a) • f(a^-1) = f(a * a^-1) = f(e) = e' ja samoin f(a^-1) • f(a) = e'.

Lause. Olkoon f : (G,*) (G',•) homomorfismi. Jos (H,*) < (G,*), niin (f(H),•) < (G',•).

Todistus. Koska (H,*) on ryhmä, niin H on epätyhjä joukko. Täten myös f(H) on epätyhjä. Olkoon a',b' f(H). Silloin joillekin a,b H on a' = f(a) ja b' = f(b). Nyt

joten väite seuraa aliryhmäkriteeristä.

Linkit:
Aliryhmä
Homomorfismin ydin ja kuva
Huomioita ryhmähomomorfismista
Esimerkkejä ryhmähomomorfismeista