Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		RENGAS
 

Renkaan aritmetiikkaa

Olkoon (R, +, . ) rengas. Koska (R, +) on ryhmä noudattaa yhteenlasku ryhmäteoriasta tuttuja sääntöjä. Esimerkiksi alkioiden a,b (- R erotus määritellään kuten ryhmässä: a - b = a + (-b).

Myös kertolaskun säännöt perustuvat ryhmäteoriaan. Huomaa, että alkion a (- R negatiivinen potenssi on määritelty vain jos alkiolla a on käänteisalkio a-1.

Soveltamalla renkaan distributiivilakia (R5) toistuvasti saadaan kaavat kaikille a,a1,...,am,b,b1,...,bn (- R:

a(b1 + ...+ bn) = ab1 + ...+ abn, (a1 + ...+ am)b = a1b + ...+ amb
ja yleisesti
(a1 + ...+ am)(b1 + ...+ bn) = a1b1 + a1b2 + ...+ ambn.

Seuraavassa lauseessa saadaan lisää tarvittavia laskulakeja renkaaseen.

Lause. Olkoot (R, +, . ) rengas, 0 R sen nolla-alkio ja a,b,c (- R. Silloin

     (i)   0R . a = a . 0 R = 0R,
     (ii)   a(-b) = (-a)b = -(ab) ja (-a)(-b) = ab,
     (iii)  a(b - c) = ab - ac ja (a - b)c = ac - bc.

Todistus. (i) Koska 0R = 0R + 0R, niin käyttämällä distributiivilakia saadaan: 0R  .   a = (0 R + 0R) . a = 0 R . a + 0 R . a. Vähentämällä saadun yhtälön molemmilta puolilta 0R  .   a päädytään yhtälöön 0 R = 0R . a. Väite a . 0 R = 0R voidaan todistaa samoin.

(ii) Koska distributiivilain ja edellisen kohdan nojalla on ab + a(-b) = a(b + (-b)) = a . 0 R = 0R, niin tulo a(-b) on tulon ab vasta-alkio Abelin ryhmässä (R, +). Vastaavasti nähdään, että myös (-a)b on tulon ab vasta-alkio.

Edellisten yhtälöiden avulla saadaan (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab.

(iii) Nyt a(b - c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) = ab + (-(ac)) = ab - ac. Toinen yhtälö voidaan todistaa samoin. []

Renkaan (R, +, . ) alkiot toteuttavat ryhmäteoriasta tutut laskulait:

(m+n)a=ma + na, (mn)a = m(na), n(a + b) = na + nb A m, n (- Z,a, b (- R.

Lisäksi kaikilla a,b (- R ja m,n (- Z on voimassa

n(a .b) = (na) .b = a .(nb), (na) .(mb) = (nm)(a .b).
Huomaa, että edellisissä tulo na ei välttämättä ole renkaan tulo-operaatio, kokonaisluku n ei välttämättä sisälly renkaaseen R. Kun n on positiivinen, merkintä na on lyhennysmerkintä n :n alkion a summalle a + ... + a. Ykkösalkiota käyttäen voidaan tulo na esittää renkaan operaationa, nimittäin na = (n1R) . a = (1 R + ... + 1R) . a. Negatiivisilla n :n arvoilla tulo na on alkion |n|a vasta-alkio.

Linkit:
Rengas
Renkaan yksikköryhmä