Olkoon $\text{[math]}$ joukko, $\text{[math]}$ joukko siinä määriteltyjä binäärioperaatioita (paria $\text{[math]}$ kutsutaan algebraksi, ryhmä on siis eräs erikoistapaus algebrasta) ja $\text{[math]}$ ekvivalenssirelaatio joukossa $\text{[math]}$ . Relaatiota $\text{[math]}$ sanotaan kongruenssiksi, jos se täyttää ehdon

\text{[math]}

kaikilla joukon $\text{[math]}$ operaatioilla $\text{[math]}$ ja joukon $\text{[math]}$ alkioilla $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ (vertaa lukukongruenssiin).

a) Osoita, että ehdolla

\text{[math]}

määritelty joukon $\text{[math]}$ binäärioperaatio on hyvin määritelty eli ehdoista $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ seuraa $\text{[math]}$ , jos $\text{[math]}$ on kongruenssi. (Tämä merkitsee, että $\text{[math]}$ on algebra, jos $\text{[math]}$ on kongruenssi.)

b) Olkoon nyt $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ (kommutatiivinen) ryhmä, jonka neutraalialkio on $\text{[math]}$ . Osoita, että myös $\text{[math]}$ on (kommutatiivinen) ryhmä, ts. kaikki (kommutatiivisen) ryhmän ehdot periytyvät ryhmältä $\text{[math]}$ algebralle $\text{[math]}$ , jos $\text{[math]}$ on kongruenssi.

c) Osoita, että jos $\text{[math]}$ on ryhmän $\text{[math]}$ normaali aliryhmä ja $\text{[math]}$ ehdolla

\text{[math]}

määritelty ekvivalenssirelaatio, niin $\text{[math]}$ on kongruenssi.

d) Osoita, että $\text{[math]}$ on ryhmän $\text{[math]}$ normaali aliryhmä, jos $\text{[math]}$ on kongruenssi.