Olkoon $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , ns. kvaternionirengas, jonka nolla- ja ykkösalkiot ovat $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ , jonka operaatiot $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ rajoitettuna reaaliluvuille $\text{[math]}$ ovat reaalilukujen tavanomaiset yhteen- ja kertolaskut ja jossa pätee laskusäännöt:

\text{[math]}

ja

\text{[math]}

aina kun $\text{[math]}$ .

a) Laske $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ .

b) Olkoon kvaternionin $\text{[math]}$ konjugaattikvaternioni alkio $\text{[math]}$ . Laske $\text{[math]}$ .

c) Osoita, että renkaan $\text{[math]}$ yksikköryhmä on $\text{[math]}$ .

d) Merkitään $\text{[math]}$ , kaikilla $\text{[math]}$ . Osoita, että joukko

\text{[math]}

muodostaa renkaan $\text{[math]}$ alirenkaan.

e) Osoita, että renkaat $\text{[math]}$ ja $\text{[math]}$ ovat isomorﬁset.